2011年4.24公務員聯(lián)考行測數(shù)量技巧：剩余定理

　　一、中國剩余定理的由來

　　我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中，記載這樣一個問題： “今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何。”用現(xiàn)在的話來說就是：“有一批物品，3個3個地數(shù)余2個，5個5個地數(shù)余3個，7個7個地數(shù)余2個，問這批物品最少有多少個?” 這個問題的解題思路，被稱為“孫子問題”、“鬼谷算”、“隔墻算”、“韓信點兵”等等。

　　二、“中國剩余定理”算理及其應用

　　明朝數(shù)學家程大位把這一解法編成四句歌訣：

　　三人同行七十(70)稀，五樹梅花廿一(21)枝，

　　七子團圓正月半(15)，除百零五(105)便得知。

　　歌訣中每一句話都是一步解法：第一句指除以3的余數(shù)用70去乘;第二句指除以5的余數(shù)用21去乘;第三句指除以7的余數(shù)用15去乘;第四句指上面乘得的三個積相加的和如超過105，就減去105的倍數(shù)，就得到答案了。即：70×2+21×3+15×2-105×2=23

　　為什么這樣解呢?因為70是5和7的公倍數(shù)，且除以3余1。21是3和7的公倍數(shù)，且除以5余1。15是3和5的公倍數(shù)，且除以7余1。(任何一個一次同余式組，只要根據(jù)這個規(guī)律求出那幾個關鍵數(shù)字，那么這個一次同余式組就不難解出了。)把70、21、15這三個數(shù)分別乘以它們的余數(shù)，再把三個積加起來是233，符合題意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍數(shù)，去掉105的倍數(shù)，剩下的差就是最小的一個答案。

　　三、“中國剩余定理”的應用

　　主要是是針對那些我們學的口訣“公倍數(shù)做周期：余同取余，和同加和，差同減差”以外的余數(shù)問題的題目。

　　例1、一個數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個數(shù)最小是幾?

　　A、81　　B、34　　C、128　　D、103

　　【答案】B　解析：本題屬于余數(shù)問題。題中3、4、5三個數(shù)兩兩互質。則〔4，5〕=20;〔3，5〕=15;〔3，4〕=12;〔3，4，5〕=60。

　　為了使20被3除余1，用20×2=40;

　　使15被4除余1，用15×3=45;

　　使12被5除余1，用12×3=36。

　　然后，40×1+45×2+36×4=274。

　　因為，274>60，所以，274-60×4=34，就是所求的數(shù)。所以選擇B選項。

　　例2、一個數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個數(shù)最小是幾?

　　A、53　　B、34　　C、128　　D、73

　　【答案】A　解析：本題屬于余數(shù)問題。題中3、7、8三個數(shù)兩兩互質。則〔7，8〕=56;〔3，8〕=24;〔3，7〕=21;〔3，7，8〕=168。

　　為了使56被3除余1，用56×2=112;

　　使24被7除余1，用24×5=120。

　　使21被8除余1，用21×5=105;

　　然后，112×2+120×4+105×5=1229。

　　因為，1229>168，所以，1229-168×7=53，就是所求的數(shù)。所以選擇A選項。

　　例3、一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)。

　　A、24　　B、46　　C、299　　D、73

　　【答案】C　解析：本題屬于余數(shù)問題。題中5、8、11三個數(shù)兩兩互質。則〔8，11〕=88;〔5，11〕=55;〔5，8〕=40;〔5，8，11〕=440。

　　為了使88被5除余1，用88×2=176;

　　使55被8除余1，用55×7=385;

　　使40被11除余1，用40×8=320。

　　然后，176×4+385×3+320×2=2499。

　　因為，2499>440，所以，2499-440×5=299，就是所求的數(shù)。所以選擇C選項。

　　例4、有一個年級的同學，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個年級至少有多少人?

　　A、95　　B、116　　C、99　　D、302

　　【答案】D　解析：本題屬于余數(shù)問題。題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質。則〔7，5〕=35;〔9，5〕=45;〔9，7〕=63;〔9，7，5〕=315。

　　為了使35被9除余1，用35×8=280;

　　使45被7除余1，用45×5=225;

　　使63被5除余1，用63×2=126。

　　然后，280×5+225×1+126×2=1877。

　　因為，1877>315，所以，1877-315×5=302，就是所求的數(shù)，所以選擇D選項。

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