如果一些圖形可以無縫隙的鋪滿一個(gè)平面，相拼接的邊相等，每個(gè)拼接點(diǎn)處各個(gè)角的和為360°，我們稱其可以完成平面密鋪(是平鋪問題一類)，如下圖：
平鋪問題是天津公務(wù)員行測(cè)數(shù)量關(guān)系中一類重要的平面幾何問題，著重考察是正多邊形的平鋪問題。并且可以延伸出圓的平鋪問題。我們先看一下下面的天津公務(wù)員行測(cè)數(shù)量例題。
【例題】在用多邊形對(duì)平面進(jìn)行密鋪時(shí)，相拼接的邊相等，每個(gè)拼接點(diǎn)處各個(gè)角的和為360°，我們稱其可以完成平面密鋪。那么一下哪種圖形不能單獨(dú)完成平面密鋪?( )
A.正三角形 B.正方形
C.正六邊形 D.正八邊形
這道題不算難，我們可以通過生活經(jīng)驗(yàn)就可以得到答案。正三角形當(dāng)然可以鋪滿平面，正方形也可以鋪滿平面，(類似我們常見的地板磚)。正六邊形則類似自然界的蜂窩狀分布，也可以鋪滿一個(gè)平面。如果我們要嚴(yán)格的來證明的話，正多邊形的內(nèi)角是，并且內(nèi)角必須是360的因數(shù)，這樣才能保證幾個(gè)角對(duì)在一起可以不留縫隙。滿足這個(gè)條件的n只有3,4,6 。
所以可以鋪滿平面的正多邊形是正三角形，正方形和正六邊形。
如果我們考慮一些圓鋪滿一個(gè)平面呢(圓與圓之間可以有交疊)。我們套用正多邊形平鋪平面的結(jié)論，一個(gè)正多邊形可以對(duì)應(yīng)著一個(gè)圓，一個(gè)正多邊形鋪滿一個(gè)平面對(duì)應(yīng)著一種圓鋪滿平面的方式
很容易發(fā)現(xiàn)，最后一種情況也就是六邊形對(duì)應(yīng)的圓的平鋪所用的圓最少。這是一個(gè)很有用的結(jié)論，因?yàn)橛袝r(shí)候有的題目會(huì)問你用最少的圓覆蓋一個(gè)形狀，這時(shí)候圓和圓的交疊方式就起到至關(guān)重要的作用，我們知道六邊形對(duì)應(yīng)的圓的平鋪時(shí)候圓與圓交接部分最小，這就意味著所“浪費(fèi)”的面積最小，這樣我們就可以覆蓋一個(gè)形狀時(shí)候使用的圓最少。
【例】為了澆灌一個(gè)半徑為10米的花壇，園藝師要在花壇里布置若干個(gè)旋轉(zhuǎn)噴頭，但庫(kù)房里只有澆灌半徑為5米的噴頭，問花壇里至少要布置幾個(gè)這樣的噴頭才能保證每個(gè)角落都能澆灌到?( )
A. 4 B. 7
C. 6 D. 9
這道題就是要用最少的圓覆蓋一個(gè)形狀——一個(gè)更大圓。通過我們剛才的講解，我們確定半徑為5米的小圓之間的分布方式是以六邊形密鋪的方式分布的。這道題我們可以轉(zhuǎn)換為用半徑5米的小圓的內(nèi)接正六邊形密鋪鋪滿一個(gè)半徑為10米的圓，如果這些正六邊形可以覆蓋這個(gè)半徑10米的圓，那么那些半徑5米的圓也可以通過正六邊形的擴(kuò)展來蓋滿整個(gè)平面。
如果想用盡可能少的正六邊形覆蓋這個(gè)大圓，我們可以采取上圖一樣的覆蓋方式，我們把一個(gè)正六邊形放在大圓圓心的位置，然后在這個(gè)中間的正六邊形周圍圍上六個(gè)正六邊形，正好可以蓋滿這個(gè)大圓，用了七個(gè)正六邊形，所以用七個(gè)小圓也可以覆蓋滿這個(gè)大圓。
平鋪問題是平面幾何問題中一類很有意思的問題，我們要正確把握正多邊形的密鋪方式以及對(duì)應(yīng)的圓的平鋪方式，這類問題就會(huì)迎刃而解。
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