2014年深圳公務員行測：快速解決兩集合容斥問題

　　“容斥原理”問題在近5年廣東省考中連續(xù)三年被考到，其中有一年考的是三集合，兩年考的是兩集合，可見出題率還是比較高的。那么我們就來看一看當遇到“兩集合容斥”問題時該如何快速、準確地解答。

　　首先，兩集合容斥原理的題目有以下特征：總數、滿足A條件的、滿足B條件的、兩者都滿足的、兩者都不滿足的。題目類型基本都是以上5個要素知4求1。那么如何求比較快速呢?我們給出一個公式：

　　滿足條件A + 滿足條件B –兩者都滿足 = 總數–兩者都不滿足

　　那么這個公式具體是如何而來的呢?我們通過一個圖形來說明：

　　圖中，方框表示總數集合，紅色圓圈代表滿足A條件的集合，綠色圓圈表示滿足B條件的集合，兩圓相交部分表示A、B兩條件都滿足的集合，而兩個圓環(huán)外的部分則表示A、B條件都不滿足的集合。

　　那么我們通過“面積”，來推導公式。

　　假設紅色圓環(huán)A的面積為A，綠色圓環(huán)B的面積為B，總面積為“總”，A、B兩圓環(huán)相交部分的面積為“A∩B”，而兩圓環(huán)都不覆蓋的面積為“非A非B”。

　　那么A、B兩圓環(huán)所覆蓋的面積有多少呢?我們先用A+B得到兩圓環(huán)各自總面積之和，那么此時，兩者相交部分在式中“A”被加了一次，再“B”中又被加了一次，多了一次，所以要將這多加的一次減掉。即兩圓環(huán)所覆蓋的面積應該為A+B-A∩B。

　　我們再通過另一種角度計算兩圓環(huán)覆蓋的面積：用方形的總面積-A、B都不覆蓋的面積，即，總-非A非B。

　　兩種角度計算出的都是兩圓環(huán)覆蓋的面積，所以它們相等，即：

　　A+B-A∩B=總-非A非B

　　我們的兩集合標準公式也就是這么來的。考生在考試中可以直接套用之，省去邏輯推理的過程，節(jié)省時間，簡化計算。

　　下面我們通過一道廣東省考的真題，來看一看這個公式如何套用，是否好用。

　　(廣東2009-46)旅行社對120人的調查顯示，喜歡爬山的與不喜歡爬山的人數比為5∶3;喜歡游泳的與不喜歡游泳的人數比為7∶5;兩種活動都喜歡的有43人。對這兩種活動都不喜歡的人數是()。

　　A. 18

　　B. 27

　　C. 28

　　D. 32

　　拿到題目后，發(fā)現(xiàn)題目中直接給出了總人數共120人、兩個條件都滿足的人數共43人，又分別間接地給出了滿足條件A與條件B的人數。即喜歡爬山的有120×5/8=75人，喜歡游泳的120×7/12=70人。問題要求兩條件都不滿足的人數。

　　直接套用公式：A+B-A∩B=總-非A非B，代入數字，75+70-43=120-非A非B，解得非A非B=18人。

　　因此，答案為A選項。

　　我們發(fā)現(xiàn)，相對于一步步分析，直接在題目中找出兩集合容斥題型中的條件對應數值，套入公式計算十分迅速，也不容易出錯。

　　那么我們再來看另一道省考真題。

　　(廣東2010-53)某公司100名員工對甲、乙兩名經理進行滿意度評議，對甲滿意的人數占全體參加評議的3/5，對乙滿意的人數比甲的人數多6人，對甲、乙都不滿意的占都滿意人數的1/3還多2人，則對甲、乙都滿意的人數是()。

　　A. 36人

　　B. 26人

　　C. 48人

　　D. 42人

　　拿到題目后發(fā)現(xiàn)符合兩集合容斥問題的特征，那么首先求出公式中的各個因素。總人數100人，則對甲滿意的有100×3/5=60人;對乙滿意的有60+6=66人。而非A非B=1/3×A∩B+2。代入公式：60+66-A∩B=100-(1/3×A∩B+2)，解得A∩B=42。

　　因此，答案為D選項。

　　經過以上兩道真題的練習，相信考生對兩集合形式的容斥原理問題都有了一定的理解，對其快速的解法也有了一定的認識。考生再通過幾道類似題型的練習，就可以熟練掌握這種兩集合標準公式在公考行測中的使用，在考試中拿到這類題型的分數，而不再為其犯難。

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