2015年河南公務(wù)員行測：高頻考點之容斥問題

　　容斥問題在歷年省考、國考中的出鏡頻率都很高，考生們需引起足夠重視。對于容斥問題，考生只要認(rèn)真讀題就一定能夠正確地解出此題。接下來，我們一起來看一下有關(guān)容斥問題的解法。

　　一、兩者容斥的解法

　　對于容斥問題，解題關(guān)鍵是首先找到各個集合，然后理清各集合之間的關(guān)系，然后通過兩大核心方法便可解決問題，兩大核心方法為：

　　1、將所有區(qū)域化為一層

　　2、畫文氏圖

　　容斥問題考察的題型包括求定值、求極值，求定值通�？疾靸煞N題型——兩者容斥、三者容斥，首先來看兩者容斥問題：

　　例：大學(xué)四年級某班有50名同學(xué)，其中奧運會志愿者10人，全運會志愿者17人，30人兩種志愿者都不是，則班內(nèi)是全運會志愿者且奧運會志愿者的同學(xué)是多少?

　　A.6 B.7 C.8 D.9

　　解析：第一步：根據(jù)題意畫文氏圖，描述出題中所涉及到的幾個集合之間的容斥關(guān)系：

　　第二步：在集合當(dāng)中把每一個獨立的封閉區(qū)間，都用一個單獨的字母來表示：

　　A表示是奧運會自愿者

　　B表示是全運會志愿者

　　I表示是全班人數(shù)

　　X表示全運會且奧運會志愿者

　　Y表示非奧運會且非全運會志愿者

　　第三步：根據(jù)題意建立等量關(guān)系，根據(jù)把重復(fù)數(shù)的次數(shù)變?yōu)橹粩?shù)1次，或者說把重疊的面積變?yōu)橐粚樱龅讲恢夭宦┑脑瓌t。

　　I=A+B-X+Y，所以X=A+B+Y-I=7(利用尾數(shù)法)。

　　結(jié)論：兩者容斥問題，畫圖之后可知，兩個圓相交的地方有1層、2層兩種情況，當(dāng)將兩個集合相加的時候，2層部分多計算一次，故若想求全集，需要將重疊區(qū)域減掉，故兩者容斥問題的公式為：全集I=A+B-X+Y(I代表全集，A、B分別代表兩個集合，X代表兩個集合的交集，Y代表集合之外的部分)

　　二、三者容斥的解法

　　接下來看三者容斥問題，三者容斥問題所給的已知條件不同，導(dǎo)致其公式不同。

　　首先來看第一種三者容斥問題：

　　例：某調(diào)查公司對甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進(jìn)行調(diào)查，有89人看過甲片，有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影都看過，20人一部也沒有看過，則只看過其中兩部電影的人數(shù)是多少人?

　　A、69 B、65 C、57 D、46

　　解析：第一步：根據(jù)題意描述出題中所涉及的幾個集合之間的容斥關(guān)系

　　第二步：在集合當(dāng)中把具有相似屬性的封閉區(qū)間，都用一個單獨的字母來表示。

　　A表示看甲片的人

　　B表示看乙片的人

　　C表示看丙片的人

　　X表示看過甲乙丙三種片子的人

　　Y表示三部電影都沒看過的人

　　I表示總共接受調(diào)查的人數(shù)

　　O、P、Q表示看過兩部片子的人

　　第三步：根據(jù)題意建立等量關(guān)系，根據(jù)把重復(fù)數(shù)的次數(shù)變?yōu)?次，或者說把重疊的面積變?yōu)橐粚�，做到不重不漏的原則。

　　I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y,O+P+Q=A+B+C-2X+Y-I=89+47+63-2×24+20-125=尾數(shù)是6

　　結(jié)論：三者容斥問題，畫圖之后可知，三個圓相交的地方有1層、2層、3層三種情況，當(dāng)將三個集合相加的時候，2層和3層區(qū)域分別多計算一次和兩次，故若想求全集，需要將重疊區(qū)域減掉，故三者容斥問題的公式為：

　　I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y

　　(I表示全集，A、B、C代表三個集合，O、P、Q表示兩個只有兩層的區(qū)域，X表示三層的區(qū)域，Y代表圓之外的部分)

　　第二種三者容斥問題，即容斥極值問題：

　�、�(A∩B) =A+B-I(I表示全集)

　　例：小明、小剛兩人一起參加一次英語考試，已知考試共有100道題，且小明做對了68題，小剛做對了58題。問兩人都最對的題目至少有幾題?

　�、�(A∩B∩C) =A+B+C-2I

　　例：小明、小剛和小紅三人一起參加一次英語考試，已知考試共有100道題，且小明做對了68題，小剛做對了58題，小紅做對了78題。問三人都最對的題目至少有幾題?

　�、�(A∩B∩C∩D) =A+B+C+D-3I

　　依此類推……

　　相信考生們通過以上講解基本上能夠全面把握容斥問題，無論是文科考生還是理工科考生，都可以順利解答出來。

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