2014年招警行測數(shù)量關(guān)系：不等式解青蛙跳井題

　　在招警考試行測數(shù)學(xué)運(yùn)算中，青蛙跳井問題是困擾我們很多考生的難題，同時(shí)，青蛙跳井問題靈活多變，可以與行程問題、工程問題相結(jié)合，增加了題目難度，常使很多考生無從下手，下面專家結(jié)合具體的例子給大家做一詳細(xì)的講解，讓大家掌握該題型的解題方法，一分鐘內(nèi)即可解決青蛙跳井問題。

　　一、基本青蛙跳井問題

　　我們先由一道簡單的例題認(rèn)識一下青蛙跳井問題。

　　例題：現(xiàn)有一口高10米的井，有一只青蛙坐落于井底，青蛙每次跳的高度為5米，由于井壁比較光滑，青蛙每跳5米下滑3米，這只青蛙跳幾次能跳出此井?

　　A.4 B.5 C.6 D.7

　　【解析】B。

　　方法一：枚舉法

　　此題比較簡單，可以通過枚舉法快速得到答案，但僅僅用該方法顯然不能滿足目前考試的需要，因?yàn)閷?shí)際考試中，數(shù)據(jù)可能會較大，枚舉過于耗時(shí)，枚舉情況過多時(shí)也容易馬虎出錯(cuò)，所以在此講述此方法主要是為了便于大家理解青蛙跳井的整個(gè)過程。

　　青蛙跳井問題關(guān)鍵特征：周期性、周期內(nèi)有正有負(fù)。

　　我們講這個(gè)例子主要是為了得出針對此類問題，簡單但適用性更強(qiáng)的解題方法-不定方程。

　　方法二：不等式法

　　先來分析一下青蛙跳井問題，青蛙不停地上跳下滑，一直在做周期性運(yùn)動(dòng)，我們可以把上跳1次下滑1次看做1個(gè)周期;不管最終青蛙跳幾次才能跳出此井，有一點(diǎn)是確定的，第一次跳出井口的時(shí)，它是在上跳的過程中，而不可能是在下滑的過程中，那么扣除最后1次跳出井口，其它恰好是完整周期，當(dāng)最后一次下滑后，青蛙距離井口的高度≤跳1次能完成的高度時(shí)，青蛙再跳1次，即可跳出井口。

　　以此題為例，我們假設(shè)青蛙運(yùn)動(dòng)x個(gè)周期后，再跳1次，即可跳出井口。

　　青蛙每運(yùn)動(dòng)1周期能上移2m，運(yùn)動(dòng)x個(gè)周期后，上移(2x)m，此時(shí)距離井口的高度為10-2x≤5，解得x≥2.5，所以x=3，也就是青蛙運(yùn)動(dòng)3個(gè)周期后，再跳1次，即可跳出井口，與我們前面枚舉法做出來的結(jié)果相同，但就通過解不等式，就省卻了枚舉的過程，計(jì)算量小，用時(shí)短，不易出錯(cuò)。

　　總結(jié)一下解題方法：

　　1.找到周期。分析每周期情況：上跳1次下滑1次為1周期，每周期完成高度2m，每周期完成高度的最大值5m。

　　2.解不等式。假設(shè)青蛙運(yùn)動(dòng)x個(gè)周期后，再跳1次，即可跳出井口。運(yùn)動(dòng)x個(gè)周期后剩余高度=總高度-每周期完成高度×x≤每周期完成高度的最大值，解出周期數(shù)。

　　3.計(jì)算次數(shù)。x個(gè)周期所用次數(shù)+x個(gè)周期后剩余高度所用次數(shù)，兩部分分別計(jì)算相加。

　　再來做一題，練習(xí)一下不等式法解決青蛙跳井問題。

　　例題：現(xiàn)有一口高40米的井，有一只青蛙坐落于井底，青蛙每次跳的高度為4米，由于井壁比較光滑，青蛙每跳4米下滑1米，這只青蛙跳幾次能跳出此井?

　　A.11 B.12 C.13 D.14

　　【解析】C。

　　1.找到周期。分析每周期情況：上跳1次下滑1次，每周期完成高度3m，每周期完成高度的最大值4m。

　　2.解不等式。假設(shè)青蛙運(yùn)動(dòng)x個(gè)周期后，再跳1次，即可跳出井口。運(yùn)動(dòng)x個(gè)周期后剩余高度=40-3×x≤4。解出x≥12，所以運(yùn)動(dòng)了12個(gè)周期。

　　3.計(jì)算次數(shù)。12個(gè)周期所用次數(shù)12次+12個(gè)周期后剩余高度所用次數(shù)1次=13次。

　　二、青蛙跳井與工程問題相結(jié)合--增減交替合作求時(shí)間

　　在行測考試中，青蛙跳井問題常與工程問題結(jié)合，雖然看似題目的難度增大了，但其實(shí)只是題目表面變花哨，只要我們看出題目的本質(zhì)為青蛙跳井問題，利用不等式法，仍可快速解答。

　　例題：一個(gè)水池有甲乙兩個(gè)進(jìn)水管，一個(gè)丙出水管，單開甲管6小時(shí)注滿;單開乙管5小時(shí)注滿;單開丙管3小時(shí)放完;水池原來是空的，如果按照甲乙丙的循環(huán)輪流開放三個(gè)水管，每輪中各水管均開放1小時(shí)，那么經(jīng)過多少小時(shí)后水池的水注滿?

　　A.59 B.60 C.79 D.90

　　【解析】A。假設(shè)水池總水量I=30，則甲管的效率是5，乙管的效率是6，丙管的效率是-10。

　　此題中，水管一直在做周期運(yùn)動(dòng)，甲乙丙依次開放1h為1周期，周期內(nèi)有正有負(fù)，此題為典型的青蛙跳井問題。同樣，水池注滿時(shí)應(yīng)該是在甲或者乙管注水時(shí)，

　　1.找到周期。分析每周期情況：甲乙丙依次開放1h為1個(gè)周期，每周期完成注水量1，每周期完成注水量的最大值11。

　　2.解不等式。假設(shè)x個(gè)周期后，甲或者乙再注水若干，即可注滿水池。x個(gè)周期后剩余水量=總水量-每周期完成注水量×x≤每周期完成注水量的最大值。30-1×x≤11，x≥19，所以注水19個(gè)周期，19個(gè)周期后剩余水量11。

　　3.計(jì)算時(shí)間。19個(gè)周期所用時(shí)間19×3h+19個(gè)周期后剩余水量所用時(shí)間2h(甲乙各注水1小時(shí))=59h。

　　三、青蛙跳井與行程問題相結(jié)合--快慢交替追及求時(shí)間

　　例題：甲乙兩人計(jì)劃從A地步行去B地，乙早上7:00出發(fā)，勻速步行前往，甲因事耽擱，9:00才出發(fā)。為了追上乙，甲決定跑步前進(jìn)，跑步的速度是乙步行速度的2.5倍，但每跑半小時(shí)都需要休息半小時(shí)，那么甲什么時(shí)候才能追上乙?

　　A.10:20 B.12:10 C.14:30 D.16:10

　　【解析】C。設(shè)乙的速度是2，則甲的速度是5，乙早出發(fā)2h，甲出發(fā)時(shí)，甲乙兩人相距4，甲比乙多跑4就能追上乙。甲每跑半小時(shí)都需要休息半小時(shí)，則前半小時(shí)，甲比乙多跑5×0.5-2×0.5=1.5，后半小時(shí)，甲比乙多跑0-2×0.5=-1，每1小時(shí)為1個(gè)周期，周期內(nèi)有正有負(fù)，此題為典型的青蛙跳井問題。同樣，甲追上乙，應(yīng)該是在前半個(gè)小時(shí)，甲在跑步過程中追上乙。

　　1.找到周期。分析每周期情況：前半小時(shí)，甲比乙多跑1.5，后半小時(shí)，甲比乙少跑1。每周期甲比乙多跑0.5，每周期甲比乙最多多跑1.5。

　　2.解不等式。假設(shè)x個(gè)周期后，甲在前半個(gè)小時(shí)跑步時(shí)追上乙，x個(gè)周期后剩余距離=總距離-每周期追上距離×x≤每周期甲比乙多跑的最大值。4-0.5×x≤1.5，x≥5，所以周期數(shù)為5，5個(gè)周期后甲乙之間剩余距離為1.5。

　　3.計(jì)算時(shí)間。5個(gè)周期所用時(shí)間5×1h+5個(gè)周期后剩余距離所用時(shí)間0.5h=5.5h。

　　上面的例題講解中，并沒有簡單的只給大家一個(gè)不等式，而是把做題的思考、分析過程以及步驟做了詳細(xì)的講解，便于大家快速理解并掌握該方法。

　　通過專家以上的講解可以明顯看出，只要把握住青蛙跳井問題的本質(zhì)-周期性、周期內(nèi)有正有負(fù)，利用不等式法，只需進(jìn)行簡單的計(jì)算，完全可以在一分鐘內(nèi)解決青蛙跳井問題。

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