在行測(cè)數(shù)量關(guān)系中常見的極值問題里，有一類是一元二次函數(shù)求最值，相信大家都是能夠根據(jù)題意列出式子，難點(diǎn)就在于解這個(gè)式子，常規(guī)的就是采用高中所學(xué)的求根公式來進(jìn)行解答，這個(gè)過程就會(huì)顯得慢而且計(jì)算量偏大，所以今天考試吧公務(wù)員考試網(wǎng)就給大家介紹運(yùn)用均值不等式來進(jìn)行求解。
一、 什么是極值問題
極值問題顧名思義，就是求極大值和極小值的問題，就是當(dāng)題干或者問法中出現(xiàn)最大或最小，最多或最少，至多或至少等字眼時(shí)，那就是極值問題。
二、 均值不等式
1. 什么是均值不等式
2. 均值不等式的應(yīng)用
三、 經(jīng)典例題
【例題1】 某汽車坐墊加工廠生產(chǎn)一種汽車座墊，每套成本是144元，售價(jià)是200元。一個(gè)經(jīng)銷商訂購了120套這種汽車座墊，并提出：如果每套座墊的售價(jià)每降低2元，就多訂購6套。按經(jīng)銷商的要求，該加工廠獲得最大利潤需售出的套數(shù)是( )。
A.144 B.136 C.128 D.142
【解析】A。根據(jù)題目所求為獲得最大利潤需售出的套數(shù)，可知此題屬于極值問題，根據(jù)題意，可設(shè)每套坐墊減價(jià)2x元，那么就會(huì)多訂購6x套，利潤為y，得：
y =(200-2x-144)x(120+6x)，化簡得：y =(56-2x)x(120+6x)，要求y最大時(shí)的x，可以把(56-2x)看成一個(gè)整體a，(120+6x)看成一個(gè)整體b，就相當(dāng)于求ab的最大值，根據(jù)均值不等式推論可知，當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和一定，這兩個(gè)數(shù)的積最大，所以去找到(56-2x)與(120+6x)的和一定即可，因?yàn)閤的系數(shù)不同，所以要將x的系數(shù)化為相同兩者之間的和才一定，所以可將(56-2x)提一個(gè)2，(120+6x)提一個(gè)6出來，讓x的系數(shù)都為1，所以y =(56-2x)x(120+6x)=2 x(28-x)x 6 x(20+x)，既原式變?yōu)閥=12(28-x)(20+x),根據(jù)均值不等式和一定積最大，當(dāng)且僅當(dāng)(28-x)=(20+x)取等號(hào)，所以28-x=20+x得出x=4，既當(dāng)坐墊降價(jià)8元時(shí)，能獲得最大利潤，所求獲得最大利潤售出套數(shù)為120+6x4=144，選A。
【例題2】某報(bào)刊以每本2元價(jià)格發(fā)行,可發(fā)行10萬份,若該報(bào)刊單價(jià)提高0.2元,發(fā)行量減少5000份,則該報(bào)刊可能的最大銷售收入為多少萬元?
A.24 B.23.5 C.23 D.22.5
【解析】D。題目求報(bào)刊的最大銷售收入屬于極值問題，設(shè)報(bào)刊單價(jià)提高了0.2x，那么發(fā)行量為10000-5000x，銷售收入為y，根據(jù)題意得：y=(2+0.2x)(10000-5000x)，化簡原式得y=0.2x(10+x)x5000x(20-x)=1000x(10+x)(20-x)，根據(jù)均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)10+x=20-x時(shí)取等號(hào)，所以x=5，帶入式子的y=1000x15x15=225000元=22.5萬元，選D。
【例題3】某汽車租賃公司有200輛同型號(hào)的汽車，每輛車的日租金為100元時(shí)可全部租出;當(dāng)每輛車的日租金增加5元時(shí)，未租出的汽車就會(huì)多4輛，租出的車每天需要維護(hù)費(fèi)20元。每輛車的日租金為多少時(shí)，租賃公司的日收益最大?
A.155元 B.165元 C.175元 D.185元
【解析】D。題目所求為日租金為多少是，日收益最大，屬于極值問題。設(shè)日租金增加5x元，那么未租出的汽車多4x輛，日收益為y，根據(jù)題意可得：
y=(100+5x)(200-4x)-20(200-4x)=(80+5x)(200-4x)，化簡得y=20(16+x)(50-x)，根據(jù)均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)16+x=50-x時(shí)，取等號(hào)，所以x=17，既當(dāng)x=17時(shí)，日收益最大，也就是當(dāng)日租金為100+5x17=185時(shí)，日收益最大，選D。
考試吧公務(wù)員考試網(wǎng)提醒大家，利用均值不等式解極值問題時(shí)，首先要判斷是否屬于極值問題，然后根據(jù)題目列式，觀察式子是否一元二次函數(shù)，若是最后采用均值不等式進(jìn)行求解x或者進(jìn)一步求解y，常用到均值不等式的和一定、積最大來進(jìn)行求解。
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