2015年河南公務(wù)員行測(cè)考試數(shù)量關(guān)系對(duì)于剩余定理的考查包括兩種情況——特殊情況和一般情況,考查特殊情況時(shí),我們只需記住三句話:余同加余、和同加和、差同減差;而考查一般情況時(shí),正面計(jì)算較為復(fù)雜,可以通過(guò)代入排除法迅速解決,下面考試吧就輔以習(xí)題作詳細(xì)講解。
一、剩余定理的特殊情況
(1)余同(余數(shù)相同):除數(shù)的最小公倍數(shù)+余數(shù)
例題1:三位數(shù)的自然數(shù)P滿足:除以4余2,除以5余2,除以6余2,則符合條件的自然數(shù)P有多少個(gè)?
A.120 B.122 C.121 D.123
【答案】B。
【解析】一個(gè)數(shù)除以4、5、6均余2,余數(shù)相同,屬于余同,因此這個(gè)數(shù)滿足通項(xiàng)公式N=60n+2 ,(n=0,1,2,3……),當(dāng)n=2時(shí),N=122,選擇B項(xiàng)。
(2)和同(除數(shù)和余數(shù)的和相同):除數(shù)的最小公倍數(shù)+和(除數(shù)加余數(shù)的和)
例題2:三位數(shù)的自然數(shù)P滿足:除以5余3,除以6余2,除以7余1,則符合條件的自然數(shù)P有多少個(gè)?
A.3 B.2 C.4 D.5
【答案】D。
【解析】此題除數(shù)與余數(shù)的和相加均為8,則該自然數(shù)應(yīng)滿足N=210n+8(n=0,1,2……),因此在0至999以內(nèi)滿足題干條件的自然數(shù)有8,218,428,638,848五個(gè)數(shù),因此選D。
(3)差同(除數(shù)減余數(shù)之差相同):除數(shù)的最小公倍數(shù)-差(除數(shù)減余數(shù)的和)
例題3:某校三年級(jí)同學(xué),每5人一排多1人,每6人一排多2人,每7人一排3多人,問(wèn)這個(gè)年級(jí)至少有多少人?
A.206 B.202 C.237 D.302
【答案】A。
【解析】通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的差均為4,所以此數(shù)滿足:N=210n-4(n=1,2,3……),當(dāng)n=1時(shí),算得次數(shù)為206,因此選A。
二、剩余定理的一般情況
例題4:一個(gè)自然數(shù)P同時(shí)滿足除以3余1,除以4余3,除以7余4,求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個(gè)?
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】B。
【解析】先取其中兩個(gè)條件,除以3余1,除以4余3,即P=4n+3=3a+1,等式兩邊同時(shí)除以3,等式左邊的余數(shù)為n,等式右邊的余數(shù)為1,即n=1,代入上式可知滿足上述兩個(gè)條件的最小的數(shù)為7,則同時(shí)滿足上述兩條件的數(shù)的通項(xiàng)公式為P=12n+7……①,再將①式所得的條件與題干中除以7余4的條件組合成新的條件。即滿足題干中三個(gè)條件的數(shù)P=12n+7=7b+4,等式兩邊同時(shí)除以未知數(shù)較小的系數(shù)7,則左邊余數(shù)為5n,等式右邊的余數(shù)是4,也可認(rèn)為余數(shù)是25,即5n=25,求解得n=5,代入到①式中,即同時(shí)滿足題干中三個(gè)條件的最小的自然數(shù)P=67,則滿足題干三個(gè)條件的數(shù)的通項(xiàng)公式為P=84n+67(n=0,1,2,3……)即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11,即符合題意的數(shù)共有11-1+1=11個(gè)數(shù)。
例題5:一個(gè)自然數(shù)P同時(shí)滿足除以11余5,除以7余1,除以5余2,求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個(gè)?
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】D。
【解析】通過(guò)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)條件屬于差同,所以滿足前兩個(gè)條件的數(shù)的通項(xiàng)公式P=77n-6(n=0,1,2,3……),即100≦77n-6≦999可求得2≦n≦13,即符合題意的數(shù)共有13-2+1=12個(gè)數(shù),因此選D。
在剩余問(wèn)題的解決過(guò)程中,遇到一些余數(shù)較為特殊的情況用剩余定理能夠很好地解決。但是在和不同、差不同、余不同的情況下,可以用同余的性質(zhì)來(lái)做,主要思路是先找滿足題干中兩個(gè)條件的通項(xiàng)公式,將三者條件轉(zhuǎn)化成二者條件,然后再次利用同余特性加以解決即可。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不僅僅要學(xué)習(xí)方法,也要多觀察題目,找到更簡(jiǎn)單的思路。考試吧希望廣大考生在掌握方法的基礎(chǔ)上,多思考、多練習(xí),一舉成功!
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