2015年國家公務員行測備考：拉燈問題思路分析

　　拉燈問題曾是困惑很多學員的難題，特別是當燈的總數(shù)量比較大的時候，如何來確定此類問題最終亮著的或滅掉的燈的數(shù)量是此類問題的關鍵。主要從以下幾個題型具體分析解決此類問題的思路。

　　一、初等拉燈問題---倍數(shù)、約數(shù)

　　例1： 走廊里有10盞電燈，從1到10編號，開始時電燈全部關閉。有10個學生依次通過走廊，第1個學生把所有的燈繩都拉了一下，第2個學生把2的倍數(shù)號的燈繩都拉了一下，第3個學生把3的倍數(shù)號的燈繩都拉了一下……第10個學生把第10號燈的燈繩拉了一下。假定每拉動一次燈繩，該燈的亮與不亮就改變一次。試判定：當這10個學生通過走廊后，走廊里有多少盞燈是亮的?

　　A.2 B.3 C.4 D.5

　　分析：

　　(1)原來電燈全部關閉，拉一下，亮著;拉兩下，滅了;拉三下，亮著。因此，燈繩被拉動奇數(shù)次的燈亮著。

　　(2)可從最簡單的情況考慮，把拉過某號的學生號碼寫出來尋找規(guī)律，如1號是第1個學生拉過，4是1,2，4號拉過，6是1,2，3,4號學生拉過，10是1,2，5,10號學生拉過，也就是第i號燈的燈繩被拉的次數(shù)就是i的所有約數(shù)的個數(shù)。由自然數(shù)因數(shù)分解的性質知，只有當i是平方數(shù)時，i的約數(shù)的個數(shù)才是奇數(shù)，所以只有1，4，9號燈亮著。

　　本題答案：1，4，9號燈亮著，共有3盞燈。選B。

　　總結：此類拉燈問題比較簡單，假如把數(shù)字擴大看起來會很麻煩，但思路還是相同的，在做題是要擅長歸納總結，提煉出基本模型。下面看一下數(shù)字較大的情況：

　　例2：一間實驗室里有100盞燈，分別編號為1、2、3、……、100號，它們起初都是關著的�，F(xiàn)在有學號為1、2、3、……、100號的學生分別走進這間實驗室。1號學生把所有的燈的開關都拉了一次;2號學生把偶數(shù)號的燈的開關又都拉了一次;3號學生把倍數(shù)是3的號數(shù)的燈的開關都拉了一次;4號學生把倍數(shù)是4的號數(shù)的燈的開關都拉了一次;……當這100個學生全部走進了實驗室之后，最后亮著的燈有多少盞?( )

　　A.4 B.6 C.8 D.10

　　分析：

　　(1) 原來電燈全部關閉，拉一下，亮著;拉兩下，滅了;拉三下，亮著。因此，燈繩被拉動奇數(shù)次的燈亮著。

　　(2) 思路同例1，所有的平方數(shù)的燈亮著。1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，10盞燈亮著。

　　選D。

　　例3：現(xiàn)在有1000盞燈，全亮，每個燈都由1個拉線開關控制。然后拉開關，規(guī)則：

　　先拉一下1的倍數(shù)的開關。(也就是說每個燈都得拉一下)，然后拉2的倍數(shù)的開關……

　　……最后拉1000的倍數(shù)的開關，問最后有幾盞燈是亮的?( )

　　A.21 B.31 C.969 D.979

　　分析：

　　(1)原來電燈全亮著，拉一下，滅了;拉兩下，亮著;拉三下，滅了。因此，燈繩被拉動奇數(shù)次的燈滅了。此題先求滅著的燈的數(shù)量，再求亮著的燈。

　　(2)思路同例1，被拉過奇數(shù)次的是約數(shù)為奇數(shù)個的燈，也就是燈號為平方數(shù)的燈，

　　1000以內(nèi)：最小有1的平方，最大有31的平方。滅掉的燈有31盞，因此亮著燈有1000-31=969盞。

　　(3)注意：看清本題要求，不能選31，正確答案選C。

　　二、拉登難題—三集合容斥原理型

　　例4： 有1000盞亮著的燈，各有一個拉線開關控制著�，F(xiàn)按其順序編號為1、2、3、4、5······1000，然后將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的電燈有多少盞?( )

　　A.468 B.499 C.501 D.532

　　分析：

　　(1) 原來電燈亮著，拉一下，滅了;拉兩下，亮著;拉三下，滅了。因此，燈繩被拉動奇數(shù)次的燈滅了。此題先求滅著的燈的數(shù)量，再求亮著的燈。

　　(2) 注意：此題目拉燈的方法不同前三個例題。編號為2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，5的倍數(shù)的燈一次都拉�？梢該�(jù)此，看做是三集和問題。

　　(3) 三個圓圈分別代表：上圓---編號為2的倍數(shù)的燈，有500盞;左圓---編號為3的倍數(shù)的燈，有333盞燈，右圓---編號為5的倍數(shù)的燈，有200盞。其燈的亮或滅情況見圖，

　　(4) 數(shù)據(jù)計算：即能被2又能被3整除的有1000/6=166個;同理，能被2,5整除的有200個，能被3,5整除的有66個，能同時被2.3.5整除的有33個。請學員把每部分的數(shù)據(jù)填到上圖中，圖中四部分滅的燈有：上圓：500-166-100+33=267;左圓：333-166-66+33=134;右圓：200-100-66+33=67;中心滅：33，四部分滅著的燈共有：267+134+67+33=501，所有亮著燈有1000-501=499.選B。

　　(5) 注意看清題目，501為易錯選項。

　　拉燈問題，題目本身看起來操作繁瑣，但是其中蘊含的數(shù)學道理不難，熟練掌握此類型題目的解決思路，熟能生巧。

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