牛吃草問(wèn)題即牛頓問(wèn)題,因由牛頓提出而得名。英國(guó)著名的物理學(xué)家牛頓曾編過(guò)這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天?典型的牛吃草問(wèn)題的條件是假設(shè)草在不斷生長(zhǎng)且生長(zhǎng)速度固定不變，牛在不斷吃草且每頭牛每天吃的草量相同，供不同數(shù)量的牛吃，需要用不同的時(shí)間，給出牛的數(shù)量，求時(shí)間。由于牛在吃草的過(guò)程中，草是不斷生長(zhǎng)的，所以解決此問(wèn)題的重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)的草雖然在變化，但由于是勻速生長(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草量應(yīng)該是不變的。利用這些不變量，我們解決牛吃草問(wèn)題時(shí)可將其轉(zhuǎn)化為相遇或追及模型來(lái)考慮。
一、牛吃草問(wèn)題的基本題型
(一)追及—— 一個(gè)量使原有草量變大，一個(gè)量使原有草量變小
原有草量=(牛每天吃掉的草-每天生長(zhǎng)的草) 天數(shù)
例：牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問(wèn)：可供25頭牛吃幾天?按照公式，設(shè)每頭牛每天吃的草量為“1”，每天生長(zhǎng)的草量為X，可供25頭牛吃T天，所以(10-X) 20=(15-X) 10=(25-X) T，先求出X=5，再求得T=5。
(二)相遇—— 兩個(gè)量都使原有草量變小
原有草量=(牛每天吃掉的草+其他原因每天減少的草量) 天數(shù)
例：由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天?
解析：牛在吃草，草在勻速減少，所以是牛吃草問(wèn)題中的相遇問(wèn)題，原有草量=(牛每天吃掉的草+每天減少的草) 天數(shù)，設(shè)每頭牛每天吃的草量為“1”，每天減少的草量為X，可供Y頭牛吃10天，所以(20+X) 5=(15+X) 6=(Y+X) 10，先求出X=10，再求得Y=5。
二、牛吃草問(wèn)題的升級(jí)版題型
牛吃草問(wèn)題出了以上兩種基本模型，在此基礎(chǔ)上還有一些其他的變形。
(一)極值型牛吃草問(wèn)題
題目與標(biāo)準(zhǔn)牛吃草中的追及問(wèn)題相同，只是題目的問(wèn)法進(jìn)行了改變，問(wèn)為了保持草永遠(yuǎn)吃不完，那么最多能放多少頭牛吃。
例：牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問(wèn)為了保持草永遠(yuǎn)吃不完，那么最多能放多少頭牛?
解析：牛在吃草，草在勻速生長(zhǎng)，所以是牛吃草問(wèn)題中的追及問(wèn)題，原有草量=(牛每天吃掉的草-每天生長(zhǎng)的草) 天數(shù)，設(shè)每頭牛每天吃的草量為“1”，每天生長(zhǎng)的草量為X，(10-X) 20=(15-X) 10，求得X=5，即每天生長(zhǎng)的草量為5，要保證永遠(yuǎn)吃不完，那就要讓每天吃掉的草量等于每天生長(zhǎng)的草量，所以最多能放5頭牛。
(二)多個(gè)草場(chǎng)牛吃草問(wèn)題
多個(gè)草場(chǎng)的牛吃草問(wèn)題，是不同的牛數(shù)在不同的草場(chǎng)上的幾種不同吃法，其中每頭牛每天吃草量和草每天的生長(zhǎng)量，兩個(gè)量是不變的。我們可以通過(guò)最小公倍數(shù)法即通過(guò)尋找多個(gè)草場(chǎng)面積的“最小整數(shù)倍”，然后將所有面積都轉(zhuǎn)化為“最小公倍數(shù)”，同時(shí)對(duì)牛的頭數(shù)進(jìn)行相應(yīng)變化，然后進(jìn)行解答。這樣就變成了在相同面積草場(chǎng)的牛吃草問(wèn)題，那么就可以直接使用牛吃草問(wèn)題公式進(jìn)行解答了。
例：20頭牛，吃30公畝牧場(chǎng)的草15天可吃盡，15頭牛吃同樣牧場(chǎng)25公畝的草，30天可吃盡。請(qǐng)問(wèn)幾頭牛吃同樣牧場(chǎng)50公畝的草，12天可吃盡?
解析：取30、25和50的公倍數(shù)300，所以原題等價(jià)于“300畝的牧場(chǎng)可供200頭牛吃15天，可供180頭牛吃30天，那么可供多少頭牛吃12天”，設(shè)每頭牛每天吃草量為1，草長(zhǎng)的速度是x，300畝的草可供n頭牛吃12天，那么有(200-x)×15=(180-x)×30=(n-x)×12，解得x=160，n=210，210÷6=35，所以35頭牛吃同樣牧場(chǎng)50公畝的草，12天可吃盡。
考生只要掌握了以上解答技巧，再碰到任何牛吃草問(wèn)題就不再是問(wèn)題。
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