2015公務員考試行測數量關系：“余數同余”問題

　　在公務員考試的數量關系模塊中，余數相關問題是考查的傳統(tǒng)重點，也是令很多考生犯難的一種題型�，F對常見的幾類余數同余題目給予分析，幫助考生輕松解決此類問題。

　　按照常考的題型，余數問題可以分為以下幾類：

　　一、代入排除類型

　　【例1】(江西2009)學生在操場上列隊做操，只知人數在90-110之間。如果排成3排則不多不少;排成5排則少2人;排成7排則少4人;則學生人數是多少?( )

　　A.102 B.98 C.104 D.108

　　【解析】像這樣的題目直接代入選項，看看哪個符合題目所給的條件，哪個就是正確的答案，毫無疑問，選項108滿足條件，選擇D。

　　二、余數關系式和恒等式的應用

　　余數的關系式和恒等式比較簡單，因為這一部分的知識點在小學時候就已經學過了，余數基本關系式：被除數÷除數=商…余數(0≤余數<除數)，但是在這里需要強調兩點：

　　1、余數是有范圍的(0≤余數<除數)，這需要引起大家足夠的重視，因為這是某些題目的突破口。

　　2、由關系式轉變的余數基本恒等式也需要掌握：被除數=除數×商+余數。

　　【例2】兩個整數相除，商是5，余數是11，被除數、除數、商及余數的和是99，求被除數是多少?

　　A.12 B.41 C.67 D.71

　　【解析】余數是11，因此，根據余數的范圍(0≤余數<除數)，我們能夠確定除數>11。除數為整數，所以除數≥12，根據余數的基本恒等式：被除數=除數×商+余數≥12×商+余數=12×5+11=71，因此被除數最小為71，答案選擇D選項。

　　【例3】有四個自然數A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個自然數的和是?

　　A. 216 B. 108 C. 314 D. 348

　　【解析】利用余數基本恒等式：被除數=除數×商+余數，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然數，于是A可以被5整除，同理，A還可以被6、7整除，因此，A可以表示為5、6、7的公倍數，即210n。由于A、B、C、D的和不超過400，所以A只能等于210，從而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，選C。

　　像上面這兩個題目，就是活用這兩個知識點來解題的，所以在對這類問題的練習過程中，一定要牢牢地把握這兩點。

　　三、同余問題

　　這類問題在考試中比較常見，主要是從除數與余數的關系入手，來求得最終答案。通過總結我們得出解決同余問題的核心口訣，如下表所示：

　　同余問題核心口訣

　　“最小公倍數作周期，余同取余，和同加和，差同減差”

　　余同取余：“一個數除以4余1，除以5余1，除以6余1”，這個數是 60n+1

　　和同加和：“一個數除以4余3，除以5余2，除以6余1”，這個數是 60n+7

　　差同減差：“一個數除以4余3，除以5余4，除以6余5”，這個數是 60n-1

　　說明：在這里，n的取值范圍為整數，可以為正數也可以取負數。

　　【例4】一個數除以4余1，除以5余1，除以6余1，請問這個數如何表示?

　　【解析】設這個數為A，則A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A-1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍數為60，所以A-1就可以表示為60n，因此，A=60n+1。

　　【例5】一個數除以4余3，除以5余2，除以6余1，請問這個數如何表示?

　　【解析】設這個數為A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，我們知道除數與對應余數的和相同，對應的為“和同加和”，滿足這三個條件的數可以表示為：A= 60n+7。

　　【例6】一個數除以4余1，除以5余2，除以6余3，請問這個數如何表示?

　　【解析】除以除以4余1，除以5余2，除以6余3，我們知道除數與對應余數的差相同，對應的為“差同減差”，滿足這三個條件的數可以表示為：60n-1。

　　根據以上三道例題的結論，我們還可以舉一反三地解決其他相關問題。如：

　　【例7】一個三位數除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數共有多少個?

　　A. 5個 B. 6個 C. 7個 D. 8個

　　解析：除以5余2，除以4余3，我們知道除數與對應余數的和相同，對應的為“和同加和”，滿足這兩個條件的數可以表示為，P=20n+7，表示除以20余7;再配上之前的條件除以9余7，對應的為“余同取余”，我們得到這個數可以表示為180n+7，由于這個數為三位數，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5個。

　　由此可以看出，針對行測考試中出現的此類問題，只要大家掌握余數的基本點，包括關系式和恒等式等，牢記同余問題的解決口訣，清楚公倍數(或最小公倍數)的求法，再遇到類似的余數同余問題，就能輕松、快速地解決掉。

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