在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，有些基礎(chǔ)知識(shí)是做題的前置條件，沒(méi)有這些基礎(chǔ)知識(shí)作為鋪墊，那么解數(shù)學(xué)題就只能說(shuō)是無(wú)根之木，無(wú)源之水，解數(shù)學(xué)題的過(guò)程就是痛苦的過(guò)程，我們把這些稱作數(shù)論基礎(chǔ)，它包括奇偶數(shù)、質(zhì)合數(shù)、最小公倍數(shù)、最大公約數(shù)等，今天，專家?guī)е蠹一仡櫹挛覀儗W(xué)過(guò)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的有關(guān)知識(shí)。
一、定義
最大公約數(shù)：如果一個(gè)自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。幾個(gè)自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。
最小公倍數(shù)：如果一個(gè)自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù).公倍數(shù)中最小的一個(gè)大于零的公倍數(shù)，叫這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
例題1：甲每5天進(jìn)城一次，乙每9天進(jìn)城一次，丙每12天進(jìn)城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要：
A.60天 B.180天 C.540天 D.1620天
解析：下次相遇要多少天，也即求5，9，12的最小公倍數(shù)，可用代入法，也可直接求。顯然5，9，12的最小公倍數(shù)為5×3×3×4=180。
所以，答案為B。
例題2：三位采購(gòu)員定期去某商店，小王每隔9天去一次，大劉每隔11天去一次，老楊每隔7天去一次，三人星期二第一次在商店相會(huì)，下次相會(huì)是星期幾?
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四
解析：此題乍看上去是求9，11，7的最小公倍數(shù)的問(wèn)題，但這里有一個(gè)關(guān)鍵詞，即“每隔”，“每隔9天”也即“每10天”，所以此題實(shí)際上是求10，12，8的最小公倍數(shù)。10，12，8的最小公倍數(shù)為5×2×2×3×2=120。120÷7=17余1，
所以，下一次相會(huì)則是在星期三，選擇C。
二、重要性質(zhì)
兩個(gè)數(shù)的乘積等于兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積。
例題3：兩個(gè)自然數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，他們的最大公約數(shù)為18，最小公倍數(shù)為216，求這兩個(gè)數(shù)分別為多少?
解：設(shè)兩個(gè)數(shù)為18a和18b,運(yùn)用性質(zhì)18a×18b=216×18，得出ab=12,又兩個(gè)自然數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，因此a與b只能從3和4中選擇，所以一個(gè)為54，一個(gè)為72。
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