所謂容斥問題，簡(jiǎn)單來說就是利用集合的思想來處理的問題，通常的處理方法是借助文氏圖來解決。然而，對(duì)于大多數(shù)考生而言，兩個(gè)集合尚無問題，一旦上升到三個(gè)及其以上的集合，問題就出現(xiàn)了，基礎(chǔ)不好的考生就很難在短時(shí)間內(nèi)把圖形弄清楚了。因此，我們對(duì)此作一個(gè)高度的總結(jié)，把常見題型概括為固定公式，以后遇到此類問題，直接套公式就行了。
一.兩個(gè)集合
公式一：設(shè)選集合A1的有a1人，選集合A2的有a2人，兩個(gè)集合都選的有n人，選擇集合A或集合B的有x人，則：
x=a1+a2-n
例一：運(yùn)動(dòng)會(huì)上共有50人，依次編號(hào)1-50，編號(hào)為4的倍數(shù)的參加跳遠(yuǎn)，編號(hào)為6的倍數(shù)的參加跳高。問參加跳遠(yuǎn)或跳高的一共多少人?
解析：易得參加跳遠(yuǎn)共有12人，參加跳高共有8人。由于4和6的最小公倍數(shù)為12，所以既參加跳遠(yuǎn)有參加跳高的人員為12的倍數(shù)，共有4人。因此由公式一，參加跳遠(yuǎn)或跳高的一共
12+8-4=16(人)
公式二：設(shè)選擇集合A或集合B的有x人，既不選擇A又不選擇B的有y人，總?cè)藬?shù)有s人，則：
s=x+y
例二：某班共有30人，其中有22人喜歡美術(shù)課，25人喜歡體育課，兩種課程都喜歡的有18人。問兩種課程都不喜歡的有幾人?
解析：由公式一，喜歡美術(shù)課或者體育課的有
22+25-18=29(人)
又共有30人，所以由公式二，兩種課程都不喜歡的有
30-29=1(人)
二.三個(gè)集合
公式三：設(shè)選集合A1的有a1人，選集合A2的有a2人，選擇集合A3的有a3人，只選了兩門的有m人，三門都選的有n人，至少選一門的有x人，一門都不選的有y人，共有s人，則：
�、� x=a1+a2+a3-m-2n
② s=x+y
例三：某考察團(tuán)成員母語均為中文，其中有1人只會(huì)說母語，有10人會(huì)說英語，有6人會(huì)說法語，有4人會(huì)說西班牙語，有5人會(huì)說上述三種外語中的兩種，有2人上述三種外語都會(huì)說。問該考察團(tuán)共有多少人?
解析：由公式三①，至少會(huì)一種外語的有
10+6+4-5-2×2=11(人)
又一種外語都不會(huì)的只有1人，再由公式三②，該考察團(tuán)共有
11+1=12(人)
公式四：設(shè)選集合A1的有a1人，選集合A2的有a2人，選擇集合A3的有a3人，既選A又選B的有b1人，既選A又選C的有b2人，既選B又選C的有b3人，三門都選的有n人，至少選一門的有x人，一門都不選的有y人，共有s人，則：
�、� x=a1+a2+a3-b1-b2-b3+n
�、� s=x+y
例四：對(duì)39種食物中是否含有甲、乙、丙三種維生素進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：含甲的有17種，含乙的有18種，含丙的有15種，含甲、乙的有7種，含甲、丙的有6種，含乙、丙的有9種，三種維生素都不含的有7種，則三種維生素都含的有多少種?
解析：因?yàn)楣灿?9種，三種維生素都不含的有7種，由公式四②，至少含一種維生素的有
39-7=32(種)
設(shè)三種維生素都含的有n種，則由公式四①
32=17+18+15-7-6-9+n
易得，n=4。所以，三種維生素都含的有4種。
三：極值問題
公式五：設(shè)選集合A1的有a1人，選集合A2的有a2人，……，選集合An的有an人，共有s人，則這n個(gè)集合都選的
�、� 至多有：min{a1,a2,……,an}(人)
② 至少有：a1+a2+……+an-(n-1)a0(人)
例五：某工廠一季度有80%人全勤，二季度有85%人全勤，三季度有90%人全勤，四季度有95%人全勤。問：全年全勤的人(1)至多占全廠人數(shù)的百分之幾?(2)至少占全廠人數(shù)的百分之幾?
解析：
(1)由公式五①，至多占
min{80%,85%,90%,95%}=80%
(2)注意到是4個(gè)集合，即n=4，由公式五②，至少占
80%+85%+90%+95%-(4-1) ×100%=50%
通過上述幾個(gè)例題，考生們能夠深刻地感受到，這種公式法在實(shí)戰(zhàn)當(dāng)中的強(qiáng)大之處。以后大家遇到此類容斥問題時(shí)，就不需要再復(fù)雜地畫文氏圖了，只需要分析清楚題目類型，再相應(yīng)地套用公式即可。
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