例：四人進(jìn)行籃球傳接球練習(xí)，要求每人接球后再傳給別人。開始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲手中，則共有多少種傳球方式?
A.60種 B.65種 C.70種 D.75種
【解析一】五次傳球傳回甲，中間將經(jīng)過四個人，將其分為兩類：
第一類：傳球的過程中不經(jīng)過甲，甲→___→___→___→___→甲___→甲，共有方法3×2×2×2=24種
第二類：傳球的過程中經(jīng)過甲，
①甲→___→___→甲→___→甲，共有方法3×2×1×3=18種
②甲→___→甲→___→___→甲，共有方法3×1×3×2=18種
根據(jù)加法原理：共有不同的傳球方式24+18+18=60種
【解析二】注意到：N次傳球，所有可能的傳法總數(shù)為3(每次傳球有3種方法)，第N次傳回甲手中的可能性就是第N-1次不在甲手中的可能性。
| 第N次傳球 | 傳球的方法 | 球在甲手中的傳球方法 | 球不在甲手中的傳球方 |
| 1 | 3 | 0 | 3 |
| 2 | 9 | 3 | 6 |
| 3 | 27 | 6 | 21 |
| 4 | 81 | 21 | 60 |
| 5 | 243 | 60 | 183 |
從表中可知，經(jīng)過5次傳球后，球仍回甲手的方法共有60種，故選A項。
【解析三】我們很容易算出來，四個人傳五次球一共有35=243種傳法，由于一共有4個人，所以平均傳給每一個人的傳法是243÷4=60.75，最接近的就是60，選擇A。
傳球問題核心注釋
這道傳球問題是一道非常復(fù)雜麻煩的排列組合問題。【解析一】是最直觀、最容易理解的，但耗時耗力并且容易錯，稍微應(yīng)運(yùn)數(shù)字計算量可能陡增;【解析二】操作性強(qiáng)，可以解決這種類型的種問題，但理解起來要求比較高，具體考場之上也比較耗時;【解析二】不免投機(jī)取巧，但最有效果(根據(jù)對稱性很容易判斷結(jié)果應(yīng)該是3的倍數(shù)，如果答案只有一個3的倍數(shù)，便能快速得到答案)，也給了一個啟發(fā)—
傳球問題核心公式
N個人傳M次球，記X=(N-1)M/N，則與X最接近的整數(shù)為傳給“非自己的某人”的方法數(shù)，與X第二接近的整數(shù)便是傳給自己的方法數(shù)。大家牢記一條公式，可以解決此類至少三人傳球的所有問題。
比如說上例之中，X=(4-1)5、4=60.75，最接近的整數(shù)是61，第二接近的整數(shù)是60，所以傳回甲自己的方法數(shù)為60種，而傳給乙(或者丙、丁)的方法數(shù)為61。
題：某人去A、B、C、D、E五個城市旅游，第一天去A城市，第七天到E城市，如果他今天在某個城市，那么第二天肯定會離開這個城市去另外一個城市，那么他一共有多少種旅游行程安排的方式?
A.204 B.205 C.819 D.820
【答案】C。相當(dāng)于五個人傳六次球，根據(jù)“傳球問題核心公式”，X=(5-1)6/5=819.2，與之最接近的是819，第二接近的是820。因此若第七天回到A城市則有820種方法，去另外一個城市則有819種方法。
