公務(wù)員考試數(shù)量關(guān)系之容斥問題解題原理及方法

　　例3 某班同學(xué)中有39人打籃球，37人跑步，25人既打籃球又跑步，問全班參加籃球、跑步這兩項體育活動的總?cè)藬?shù)是多少?

　　解：設(shè)A={打籃球的同學(xué)};B={跑步的同學(xué)}

　　則 A∩B={既打籃球又跑步的同學(xué)}

　　A∪B={參加打籃球或跑步的同學(xué)}

　　應(yīng)用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51(人)

　　例4 求在不超過100的自然數(shù)中，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)有多少個?

　　分析：這個問題與前幾個例題看似不相同，不能直接運(yùn)用容斥原理，要計算的是“既不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)�！钡�是，只要同學(xué)們仔細(xì)分析題意，這只需先算出“100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)。”再從100中減去就行了。

　　解：設(shè)A={100以內(nèi)的5的倍數(shù)}

　　B={100以內(nèi)的7的倍數(shù)}

　　A∩B={100以內(nèi)的35的倍數(shù)}

　　A∪B={100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)}

　　則有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2

　　由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32

　　因此，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是：100-32=68(個)

　　點(diǎn)評：從以上的解答可體會出一種重要的解題思想：有些問題表面上看好象很不一樣，但經(jīng)過細(xì)心的推敲就會發(fā)現(xiàn)它們之間有著緊密的聯(lián)系，應(yīng)當(dāng)善于將一個問題轉(zhuǎn)化為另一個問題。

　　例5 某年級的課外學(xué)科小組分為數(shù)學(xué)、語文、外語三個小組，參加數(shù)學(xué)小組的有23人，參加語文小組的有27人，參加外語小組的有18人;同時參加數(shù)學(xué)、語文兩個小組的有4人，同時參加數(shù)學(xué)、外語小組的有7人，同時參加語文、外語小組的有5人;三個小組都參加的有2人。問：這個年級參加課外學(xué)科小組共有多少人?

　　解1：設(shè)A={數(shù)學(xué)小組的同學(xué)}，B={語文小組的同學(xué)}，C={外語小組的同學(xué)}，A∩B={數(shù)學(xué)、語文小組的同學(xué)}，A∩C={參加數(shù)學(xué)、外語小組的同學(xué)}，B∩C={參加語文、外語小組的同學(xué)}，A∩B∩C={三個小組都參加的同學(xué)}

　　由題意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18

　　∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2

　　根據(jù)容斥原理二得：

　　∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣

　　=23+27+18-(4+5+7)+2

　　=54(人)