第六節(jié)  集合和集合的推演

　　一、關(guān)于集合的幾個(gè)基本概念——集合、元素、子集、空集、全集

　　一個(gè)詞項(xiàng)的外延是一類事物，該類中具體的事物是那個(gè)類的分子，在現(xiàn)代邏輯中，通常把作為詞項(xiàng)的外延的類稱為集合，把組成類的分子稱為元素。

　　例如：

　　世界上最高的山峰。

　　太陽(yáng)系的大行星。

　　中華人民共和國(guó)的直轄行政區(qū)。

　　自然數(shù)。

　　這些都是集合。

　　用A、B、C……表示集合，用a、b、c表示集合的元素。集合A可以記為：

　　A=﹛a,b,c……﹜.

　　或者記為A=﹛x,︴x=a,b,c……﹜

　　a是A的元素，叫做a屬于A，用符號(hào)“∈”表示，記為a∈A。

　　a不是A的元素，叫做a不屬于A，記為aÏA。

　　例如，地球?qū)儆谔��?yáng)系的大行星，-1不屬于自然數(shù)。

　　如果A、B兩個(gè)集合，A的每一個(gè)元素都是B的元素，那么，A就是B的“子集合”，簡(jiǎn)稱子集，叫做A包含于B，或者說(shuō)A和B有包含關(guān)系，用符號(hào)“Í”表示，記為：AÍB。

　　如果A包含于B，且A不等于B，那么，A是B的真子集，或者說(shuō)，A與B有真包含關(guān)系，記為AÌB。

　　如果A包含于B，且B也包含于A，那么A與B相等，或者說(shuō)，A與B具有全同關(guān)系，記為A=B。

　　如果一個(gè)集合不包含任何元素，則稱之為“空集合”（簡(jiǎn)稱空集），用Ø表示，即Ø={  }。

　　如果一個(gè)集合包含了組成它的一切元素，則稱之為“全集合”（簡(jiǎn)稱全集），用I表示 。

　　二、集合的推演

　　集合的推演就是集合的運(yùn)算。即從給定的兩個(gè)或兩個(gè)以上集合推演出一個(gè)新的集合。它體現(xiàn)了從兩個(gè)（或兩個(gè)以上）的詞項(xiàng)推導(dǎo)出一個(gè)新詞項(xiàng)的過(guò)程。集合有下面四種推演方式。

　　1、集合相加的推演（并運(yùn)算）與詞項(xiàng)和。

　　可以將不同的集合合并在一起。如果我們將兩個(gè)集合加在一起構(gòu)成一個(gè)新的集合，就是用集合A和集合B的所有元素組成一個(gè)新的集合，這個(gè)集合即包含了原來(lái)兩個(gè)集合的所有成分，而這些成分又至少屬于這些集合中的一個(gè)。這種運(yùn)算稱之為并集（簡(jiǎn)稱“并”），或者叫作邏輯和。

　　集合相加的推演可以在兩個(gè)或兩個(gè)以上集合中進(jìn)行，也就是說(shuō)，可以將兩種、三種、四種乃至更多種類合并在一起。用符號(hào)“∪”作為并運(yùn)算的聯(lián)結(jié)項(xiàng)，兩個(gè)集合的并運(yùn)算可記為：A∪B。

　　例如，設(shè)A={1，2，3 }，B={ 3，4，5}

　　則A∪B={1，2，3，4，5 }

　　又如，設(shè)A={男學(xué)生}，B={女學(xué)生}，

　　則A∪B={學(xué)生}

　�。ㄒ韵翧、B、C均表示詞項(xiàng)）

　　對(duì)于詞項(xiàng)來(lái)說(shuō)，這種運(yùn)算也稱為詞項(xiàng)和。比如將哺乳動(dòng)物和非哺乳動(dòng)物的集合合并在一起即是動(dòng)物的集合。奇數(shù)與偶數(shù)的集合合并在一起即構(gòu)成整數(shù)這一集合。將外國(guó)詩(shī)人和中國(guó)詩(shī)人合在一起即是詩(shī)人這一集合。如果將詞項(xiàng)和的運(yùn)算表示為：

　　       A + B = C

　　從內(nèi)涵上看：C的每個(gè)分子，或者具有A的內(nèi)涵，或者具有B的內(nèi)涵；

　　從外延上看：C的外延是A與B的外延之和。

　　例如：男人+女人=人

　　2、集合相乘的運(yùn)算與詞項(xiàng)積。

　　集合相乘的推演又叫作集合的交運(yùn)算，就是用同時(shí)屬于集合A和集合B的所有元素構(gòu)成一個(gè)新的集合，稱之為“交集”（簡(jiǎn)稱“交”），或叫做邏輯積。用符號(hào)“∩”作為交運(yùn)算的聯(lián)結(jié)項(xiàng)，記為：

　　A∩B

　　如前例，設(shè)A={1，2，3 }，B={ 3，4，5}，有：A∩B={3 }

　　又如，設(shè)A=哲學(xué)系學(xué)生，B=大學(xué)一年級(jí)新生，則A∩B={哲學(xué)系一年級(jí)新生 }。

　　再如，A=方形，B=圓形，則A∩B=既是方形又是圓形={ }=Ø

　　該運(yùn)算對(duì)詞項(xiàng)而言，可稱詞項(xiàng)積。如果將詞項(xiàng)積表示為：

　　       A ×B = C

　　從內(nèi)涵上看：C的每個(gè)分子，既具有A的內(nèi)涵，又具有B的內(nèi)涵；

　　從外延上看：C的外延是A與B外延的共同部分。

　　例如：中國(guó)人×知識(shí)分子=中國(guó)知識(shí)分子

　　      男人×老人= 老頭

　　3、集合相減的運(yùn)算與詞項(xiàng)差。

　　集合相減的運(yùn)算又叫做集合的差運(yùn)算，就是用屬于集合A而不屬于集合B的所有元素組成一個(gè)新的集合，稱之為“差集”（簡(jiǎn)稱“差”），或叫做邏輯差。用符號(hào)“-”作為差運(yùn)算的聯(lián)結(jié)項(xiàng)，記為：

　　A-B

　　如前例，設(shè)A={1，2，3 }，B={ 3，4，5}，有：A-B={1，2 }，B-A={4，5 }

　　又如，設(shè)A=干部，B=黨員，有：A-B=非黨員的干部，B-A=非干部的黨員。

　　該運(yùn)算對(duì)于詞項(xiàng)而言，可稱詞項(xiàng)差。如果將詞項(xiàng)差表示為：

　　       A-B = C

　　從內(nèi)涵上看：C的每個(gè)分子，具有A的內(nèi)涵，但不具有B的內(nèi)涵；

　　從外延上看：C的外延是從A的外延中除去A與B的積。

　　例如： 教授－離退休人員=在職教授

　　4、補(bǔ)集與補(bǔ)詞項(xiàng)。

　　補(bǔ)集是全集與其子集之間的差運(yùn)算，用屬于全集I而不屬于其子集A的所有元素構(gòu)成一個(gè)新的集合，這個(gè)新集合就是集合A的補(bǔ)集，（簡(jiǎn)稱“補(bǔ)”），記為：

　　I-A（或-A）

　　對(duì)于詞項(xiàng)而言，該運(yùn)算稱為補(bǔ)詞項(xiàng)，詞項(xiàng)A的補(bǔ)，記為﹁A，讀作非A。指論域中除A以外的其他事物。以I表示論域，則

　　﹁A = I－A。

　　例如，設(shè)I= {自然數(shù)}，A={偶數(shù)}，有：I-A={奇數(shù)}，或﹁A={奇數(shù)}。

　　又如，設(shè)：I= 動(dòng)物，A=哺乳動(dòng)物，有：I-A=非哺乳動(dòng)物，或﹁A=非哺乳動(dòng)物。

　　例如： 非公理化理論= 理論－公理化理論

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