2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(33)

-三角函數(shù)

　　幾何中的兩個基本量是：線段的長度和角的大小.三角函數(shù)的本質(zhì)就是用線段長度之比來表示角的大小，從而將兩個基本量聯(lián)系在一起，使我們可以借助三角變換或三角計算來解決一些較難的幾何問題.三角函數(shù)不僅是一門有趣的學(xué)問，而且是解決幾何問題的有力工具.

　　1. 角函數(shù)的計算和證明問題

　　在解三角函數(shù)問題之前，除了熟知初三教材中的有關(guān)知識外，還應(yīng)該掌握：

　　(1)三角函數(shù)的單調(diào)性 當(dāng)a為銳角時，sina與tga的值隨a的值增大而增大;cosa與ctga隨a的值增大而減小;當(dāng)a為鈍角時，利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)討論.

　　注意到sin45°=cos45°= ,由(1)可知,當(dāng)時0sina;當(dāng)45°

　　(2)三角函數(shù)的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意實數(shù)值(這一點可直接利用三角函數(shù)定義導(dǎo)出).

　　例1(1986年全國初中數(shù)學(xué)競賽備用題)在△ABC中，如果等式sinA+cosA= 成立，那么角A是( )

　　(A)銳角 (B)鈍角 (C)直角

　　分析 對A分類，結(jié)合sinA和cosA的單調(diào)性用枚舉法討論.

　　解當(dāng)A=90°時，sinA和cosA=1;

　　當(dāng)45° ，cosA>0，

　　∴sinA+cosA> 當(dāng)A=45°時，sinA+cosA= 當(dāng)00,cosA> ∴sinA+cosA> ∵ 1, 都大于 .

　　∴淘汰(A)、(C)，選(B).

　　例2(1982年上海初中數(shù)學(xué)競賽題)ctg67°30′的值是( )

　　(A) -1 (B)2- (C) -1

　　(D) (E) 分析 構(gòu)造一個有一銳角恰為67°30′的Rt△，再用余切定義求之.

　　解 如圖36-1，作等腰Rt△ABC，設(shè)∠B=90°，AB=BC=1.延長BA到D使AD=AC，連DC，則AD=AC= ，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.這時，

　　ctg67°30′=ctg∠DCB= ∴選(A).

　　例3(1990年南昌市初中數(shù)學(xué)競賽題)如圖,在△ABC中,∠A所對的BC邊的邊長等于a,旁切圓⊙O的半徑為R,且分別切BC及AB、AC的延長線于D，E，F(xiàn).求證:

　　R≤a· 證明 作△ABC的內(nèi)切圓O′,分別切三邊于G,H,K.由對稱性知GE=KF(如圖36-2).設(shè)GB=a，BE=x，KC=y,CF=b.則

　　x+a=y+b, ①

　　且BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是,

　　x-a=y-b. ②

　�、�+②得,x=y.從而知a=b.

　　∴GE=BC=a.

　　設(shè)⊙O′半徑為r.顯然R+r≤OO′ (當(dāng)AB=AC)時取等號.

　　作O′M⊥EO于M,則O′M=GE=a,∠OO′M= ∴R+r≤ 兩式相加即得R≤ .

　　例4(1985年武漢等四市初中聯(lián)賽題)凸4n+2邊形A1A2A3…A4n+2(n為自然數(shù))各內(nèi)角都是30°的整數(shù)倍，已知關(guān)于x的方程：

　　x2+2xsinA1+sinA2=0 ①

　　x2+2xsinA2+sinA3=0 ②

　　x2+2xsinA3+sinA1=0 ③

　　都有實根，求這凸4n+2邊形各內(nèi)角的度數(shù).

　　解∵各內(nèi)角只能是 、 、 、 ，

　　∴正弦值只能取 當(dāng)sinA1= 時，∵sinA2≥ sinA3≥ ∴方程①的判別式

　　△1=4(sin2A1-sinA2)≤4 40

　　方程①無實根，與已知矛盾，故sinA1≠ .

　　當(dāng)sinA1= 時，sinA2≥ ，sinA3≥ ，

　　∴方程①的判別式

　　△1=4(sin2A1-sinA2)= 0.

　　方程①無實根，與已知矛盾，故sinA1= .

　　綜上所述，可知sinA1=1，A1= .

　　同理，A2=A3= .

　　這樣其余4n-1個內(nèi)角之和為 這些角均不大于 又n為自然數(shù)，∴n=1,凸n邊形為6邊形,且

　　A4+A5+A6=4× 2.解三角形和三角法

　　定理 推論設(shè) a、b、c、S與a′、b′、c′、S′.若 我們在正、余弦定理之前介紹上述定理和推論是為了在解三角形和用三角函數(shù)解幾何題時有更大的自由.

　　(1) 解三角形

　　例5(第37屆美國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題)在圖36-3中，AB是圓的直徑，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α,△CDE和△ABE的面積之比是( ).

　　(A)cosα(B)sinα(C)cos2α(D)sin2α(E)1-sinα

　　解 如圖，因為AB∥DC,AD=CB,且△CDE∽△ABE,BE=AE,因此 連結(jié)AD，因為AB是直徑，所以∠ADB= 在直角三角形ADE中，DE=AEcosα.

　　∴ 應(yīng)選(C).

　　例6 (1982年上海初中數(shù)學(xué)競賽題)如圖36-4,已知Rt△斜邊AB=c, ∠A=α,求內(nèi)接正方形的邊長.

　　解 過C作AB的垂線CH，分別與GF、AB交于P、H，則由題意可得 又∵△ABC∽△GFC，∴ ，即

　　(2) 三角法.利用三角知識(包括下一講介紹的正、余弦定理)解幾何問題的方法叫三角法.其特點是將幾何圖形中的線段，面積等用某些角的三角函數(shù)表示，通過三角變換來達(dá)到計算和證明的目的，思路簡單，從而減少幾何計算和證明中技巧性很強(qiáng)的作輔助線的困難.

　　例7(1986年全國初中數(shù)學(xué)競賽征集題)如圖36-5，在△ABC中，BE、CF是高，∠A= ，則△AFE和四邊形FBCE的面積之比是( )

　　(A) 1∶2(B)2∶3(C)1∶1(D)3∶4

　　解 由BE、CF是高知F、B、C、E四點共圓，得AF·AB=AE·AC.

　　在Rt△ABE中，∠ABE= ，

　　∴S△AFE∶SFBCE=1∶1.應(yīng)選(C).

　　例8 (1981年上海中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題)在△ABC中∠C為鈍角,AB邊上的高為h,求證:AB>2h.

　　證明 如圖36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB) ①

　　∵∠C是鈍角,∴∠A+∠B< ,∴ctgB>ctg( -A)=tgA.②

　　由①、②和代數(shù)基本不等式，得 例9 (第18屆國際數(shù)學(xué)競賽題)已知面積為32cm2的平面凸四邊形中一組對邊與一條對角線之長的和為16cm.試確定另一條對角線的所有可能的長度.

　　解 如圖36-7，設(shè)四邊形ABCD面積S為32cm2，并設(shè)AD=y,AC=x,BC=z.則x+y+z=16(cm)由 但S=32，∴sinθ=1,sin =1,且x-8=0.故θ= = 且x=8,y+z=8.這時易知另一條對角線BD的長為 此處無圖

　　例10 (1964年福建中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題)設(shè)a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，整數(shù)n≥3,求證:an+bn

　　分析 如圖34-8,注意到Rt△ABC的邊角關(guān)系:a=csinα>0,b=ccosα>0,可將不等式轉(zhuǎn)化為三角不等式sinnα+cosnα<1來討論.

　　證明 設(shè)直角三角形一銳角∠BAC=α(如圖),則

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