2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(32)

　　練習(xí)二十三

　　1. 選擇題

　　(1)等腰△ABC中，一腰上的高線長為 ，這個(gè)高線與底邊的夾角是 ，△ABC的面積是( ).

　　(A) (B)2 (C)2 (D) (E)以上答案都不對

　　(2)如圖，ABCD是面積為1的正方形，△PBC為正三角形，則△BPD的面積為( ).

　　(A) (B) (C) (D) (E) (3)已知等腰△ABC一腰上的中線為15，底邊上的高為18，則△ABC的面積是( ).

　　(A)124 (B)144 (C)150 (D)以上答案都不對

　　2.填空題

　　(1) 已知一張矩形紙片ABCD,AB=a,BC=Ka,將紙片折疊一次,使頂點(diǎn)A與C重合,如果紙片不重合部分面積為 ,則K=__________.

　　(2) 已知等腰梯形ABCD的兩對角線AC、BD互相垂直相交，且梯形的面積為100cm2，則梯形的高h(yuǎn)=_________.

　　(3) (第3屆美國數(shù)學(xué)邀請賽試題)如圖所示,將△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)與同一個(gè)內(nèi)點(diǎn)連接起來,所得三條聯(lián)線把△ABC分成六個(gè)小三角形,其中四個(gè)小三角形的面積已在圖上標(biāo)明. △ABC的面積是_________.

　　(4) (1984年西安初中數(shù)學(xué)競賽題)設(shè)△ABC的面積為1, 則△DEF的面積是___________.

　　3.如圖,B在AC上,Q在PR上,PB∥QC，AQ∥BR.求證：AP∥CR.

　　4.(1974年加拿大中學(xué)生笛卡爾數(shù)學(xué)競賽題)設(shè)AD為△ABC一中線，引任一直線CF交AD于E，交AB于F.

　　證明AE·FB=2AF·ED.

　　5.(塞瓦定理)設(shè)X、Y、Z分別是△ABC的邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，若

　　則AX、BY、CZ三線共點(diǎn).

　　6.(1983年中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽題)如圖，在四邊形ABCD中△ABD，△BCD，△ABC的面積比是3：4：1，點(diǎn)M，N分別在AC，CD上，滿足AM：AC=CN：CD，并且B、M、N三點(diǎn)共線，求證：M與N分別是AC與CD的中點(diǎn).

　　此處無圖

　　7.P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，P到邊AB、AC的距離為PE、PF，PE=q，PF=r，PA=x，求證：ax≥cq+br.(a，b，c為相應(yīng)頂點(diǎn)對應(yīng)的邊長)

　　8.三角形的兩邊不等，則大邊加上這邊上的高，不小于小邊加上小邊上的高.

　　9.設(shè)△ABC的面積S=1.試分別在邊BC、CA、AB上依次我一內(nèi)點(diǎn)E、F、G，使得△EFG的面積 適合 < <

　　練習(xí)二十三

　　1.A　　D　　B

　　2.(1)4- . (2)10 (3)315.

　　(4) 3.連PC、BQ.△PQC=△BQC，△ABR=△BQR

　　∴△PRC=SQRCB=△ARC，∴AP∥CR.

　　4.連BE后，引入三個(gè)面積參數(shù)，即S1=△AEF，S2=△BEF，S3=△BED=△DEC則△AEC=△ABE=S1+S2.

　　5.設(shè)AX與BY交于點(diǎn)O，連ZO、OC.設(shè) 易知△AOZ=λ△BOZ，△AOC=λμ△AOB=λμ( )=λ△BOC，

　　∴△BOZ+△BOC=△ABC-△AOZ-△AOC

　　=△ABC-λ△BOZ-λ△BOC

　　∴△BOZ+△BOC= △ABC=△BZC

　　∴Z、O、C共線.∴AX、BY、CZ共點(diǎn).

　　6. 設(shè) 及△ABC=1.

　　這時(shí)，△ABD=3，△BCD=4，△ACD=3+4-1=6.△ABM=r，△BCM=1-r，△BCN=4r，△ACN=6r，△CNM=△BCN-△BCM=4r-(1-r)=5r-1，△AMN=△ACN-△CNM=6r-(5r-1)=r+1

　　.因此， 所以 解得 即M與N分別是AC與CD的中點(diǎn).

　　7作AH⊥BC，設(shè)AH=h.又作PD⊥BC，設(shè)PD=p.顯然ah=ap+cq+rb，∴cq+br=a(h-p)≤ax.

　　8.如圖，設(shè)AB=c，AC=b，c>b.BD=hb，CE=hc.易知b-hc≥0，c-hb≥0，chc=bhb.∴bc-chc=bc-bhb=b(c-hb)

　　9.作法：如圖，作△ABC的中位線B′C′并延長B′C′至M，使B′M= B′C′.作B′E⊥BC，垂足為E(當(dāng)∠A為△ABC的最大內(nèi)角時(shí)，E必為BC的內(nèi)點(diǎn))，作MD∥B′E，交AB于D.選DC′的任一內(nèi)點(diǎn)G，連結(jié)GB′、CE，并將點(diǎn)B′改名為F，則△EFG即為所求.

　　練習(xí)二十三

　　1.A　　D　　B

　　2.(1)4- . (2)10 (3)315.

　　(4) 3.連PC、BQ.△PQC=△BQC，△ABR=△BQR

　　∴△PRC=SQRCB=△ARC，∴AP∥CR.

　　4.連BE后，引入三個(gè)面積參數(shù)，即S1=△AEF，S2=△BEF，S3=△BED=△DEC則△AEC=△ABE=S1+S2.

　　5.設(shè)AX與BY交于點(diǎn)O，連ZO、OC.設(shè) 易知△AOZ=λ△BOZ，△AOC=λμ△AOB=λμ( )=λ△BOC，

　　∴△BOZ+△BOC=△ABC-△AOZ-△AOC

　　=△ABC-λ△BOZ-λ△BOC

　　∴△BOZ+△BOC= △ABC=△BZC

　　∴Z、O、C共線.∴AX、BY、CZ共點(diǎn).

　　7. 設(shè) 及△ABC=1.

　　這時(shí)，△ABD=3，△BCD=4，△ACD=3+4-1=6.△ABM=r，△BCM=1-r，△BCN=4r，△ACN=6r，△CNM=△BCN-△BCM=4r-(1-r)=5r-1，△AMN=△ACN-△CNM=6r-(5r-1)=r+1

　　.因此， 所以 解得 即M與N分別是AC與CD的中點(diǎn).

　　7作AH⊥BC，設(shè)AH=h.又作PD⊥BC，設(shè)PD=p.顯然ah=ap+cq+rb，∴cq+br=a(h-p)≤ax.

　　此處無圖

　　8.如圖，設(shè)AB=c，AC=b，c>b.BD=hb，CE=hc.易知b-hc≥0，c-hb≥0，chc=bhb.∴bc-chc=bc-bhb=b(c-hb)

　　9.作法：如圖，作△ABC的中位線B′C′并延長B′C′至M，使B′M= B′C′.作B′E⊥BC，垂足為E(當(dāng)∠A為△ABC的最大內(nèi)角時(shí)，E必為BC的內(nèi)點(diǎn))，作MD∥B′E，交AB于D.選DC′的任一內(nèi)點(diǎn)G，連結(jié)GB′、CE，并將點(diǎn)B′改名為F，則△EFG即為所求.

　　此處無圖.

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