2011年中招考試：《初中數學》競賽講座(32)

　　3. 一個定理的應用定理

　　已知△ABC、△DBC共邊BC，AD交BC或其延長線于E，則 分析 當B或C點與E重合時，結論顯然成立.當B、C都不與E重合時，有兩種情況：若E在BC之間，由△ABE= 易知結論成立;若E在BC之外類似可證.證明略.

　　這個定理敘述的事實雖然簡單,但卻能解決大問題.

　　例8 (1987年全國初中數學聯賽試題)如圖23-8已知四邊形ABCD內有一點E,連接AE、BE、CE、DE，將四邊形ABCD分成四個面積相等的三角形，那么命題( ).

　　甲. ABCD是凸四邊形; 此處無圖

　　乙. E是對角線AC的中點或對角線BD的中點;

　　丙. ABCD是平行四邊形中.

　　(A) 只有甲正確 (B)只有乙正確 (C)甲、乙、丙都正確 (D)甲、乙、丙都不正確

　　分析 如果ABCD是以AC為對稱軸的凹四邊形，易見AC的中點具有題中E點所要求的性質，所以甲、丙都不正確.

　　設AE、BE、CE、DE將四邊形ABCD分成四個面積相等的三角形，BD、AC交于F，由△ABE=△ADE及本講定理知F是BD的中點，即E在AF上.

　　如果F與E重合，則E是BD的中點，乙成立.如果F與E不重合，同理由△BEC=△DEC是E在直線CF上，也就是說A、C都在直線EF上.再由△ABE=△BEC，得AE=EC，所以E是AC的中點，乙成立.所以選(B).

　　如果將三點A、B、C在一條直線上看成是△ABC的蛻化情況，那么A、B、C三點共線等價于△ABC=0.由此引出證明三點共線的一條極自然的思路:欲證三點A、B、C共線，只要證明△ABC=0.為了計算△ABC的面積，常在A、B、C之外適當選一點P，如果△PAB、△PBC、△PAC三者之中一個等于另兩個之和，則自然有△ABC=0，這方面?zhèn)鹘y(tǒng)的例子是梅內勞斯定理的證明.

　　例9在圖33-9△ABC的兩邊AB、AC上分別取E、F兩點，在BC的延長線上取點D，使 則D、E、F三點共線. 此處無圖

　　證明 設 則 于是 ①

　�、�

　�、�

　　由①、②、③易得△BDE=△BEF+△BDF，

　　∴D、E、F三點共線.

　　說明：A、B、C共線即點B在直線AC上.由此即知欲證l1、l2、l3共點，只要證l1、l2的交點B在直線l3上，若在l3上別取點A、C，則只要證明△ABC=0即可.看來三線共點的問題可轉化為三點共線來解決，這方面典型的例子是塞瓦定理的證明(見練習題).

　　最后，我們來看一個漂亮的作圖問題.

　　例10設A、B是直線l1上的兩點，而C、D是直線l2上的兩點，l1與l2交于O，作出平面上一切滿足條件△PAB=△PCD的點P.

　　分析 如圖23-10，在l1上取E、F，使O為EF中點且EO=AB;在l2上取G、H，使O為GH中點且GO=CD.不妨設E、G、F、H之順序使EGFH成為以O為中心的平行四邊形.設EG、GF、FH、HE之中點順次為M、S、N、R，則P點為直線MN和RS上的一切點.

　　設P為RS上或MN上任一點，由作圖知△PAB=△PFO，△PCD=△PGO.由本講定理知△PFO=△PGO，所以△PAB=△PCD.當P點不在直線MN上且不在RS上時，可以用反證法證明△PAB≠△PCD.

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