2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(30)

-分類與討論

　　1. 分類討論的規(guī)則

　　解題總是在一定的范圍(論域)進(jìn)行的.解題中有時(shí)要將題目條件包含的全體對(duì)象分成若干類,然后逐類討論,才能得出正確的解答.因此,分類討論是數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)重要內(nèi)容.

　　(1) 分類的規(guī)則 分類時(shí)首先要明確分類的對(duì)象和分類的標(biāo)準(zhǔn).有時(shí)還要對(duì)第一次分出的各類進(jìn)行再分類,這就是第二級(jí)分類,類似地有第三級(jí)分類、第四級(jí)分類、……，這種進(jìn)行多次分類的現(xiàn)象叫做連續(xù)分類.合理的分類不但是正確解題的基礎(chǔ)，而且是簡(jiǎn)捷解題的出發(fā)點(diǎn).

　　分類的原則是：不重不漏，即每一個(gè)題設(shè)包含的對(duì)象都必須在而且只在所分的一類中.為此，分類時(shí)必須做到：

　�、� 一次分類只按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行;

　　② 連續(xù)分類按層次逐級(jí)進(jìn)行.

　　(2)枚舉和討論 解決需要討論的問(wèn)題的方法是枚舉，枚舉的基礎(chǔ)是正確分類.

　　例1 求出所有的自然數(shù)n，使三個(gè)整數(shù)n，n+8，n+16都為質(zhì)數(shù).

　　解 現(xiàn)將所有自然數(shù)n按模為3的剩余類分成三類：

　　n=3k，3k+1，3k+2.

　　當(dāng)n=3k時(shí)，只有k=1時(shí)，三個(gè)整數(shù)(3，11，19)都是質(zhì)數(shù);

　　當(dāng)n=3k+1時(shí)，n+8=3k+1+8=3(k+3)不是質(zhì)數(shù);

　　當(dāng)n=3k+2時(shí)，n+16=3k+2+16=3(k+6)不是質(zhì)數(shù).

　　所以滿足題設(shè)的自然數(shù)只有一個(gè)3.

　　2.分類討論舉例

　　下面我們用分類討論的思想方法來(lái)解決一些國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽問(wèn)題.

　　例2 (第4屆加拿大中學(xué)生競(jìng)賽題)設(shè)a和n是相異的實(shí)數(shù)，證明存在整數(shù)m和n使得am+bn<0，bm+an>0.

　　證明 既然a，b為相異實(shí)數(shù)，那么必有a-b<0或a-b>0.

　　當(dāng)a-b<0時(shí)，就取m=1，n=-1，驗(yàn)證和滿足所給不等式;

　　當(dāng)a-b>0時(shí)，就取m=-1，n=1，顯然也滿足所給不等式.

　　例3 (1956年上海市競(jìng)賽題)從1到100這一百個(gè)自然數(shù)中，每次取2個(gè)，要它們的和大于100，有多少種取法?

　　解 因?yàn)槊看嗡�取的兩�?shù)不等，所以可以按較大(或較小)的數(shù)的取值來(lái)分類考慮：

　　較大的數(shù)取100時(shí)，另一數(shù)有99種取法;

　　較大的數(shù)取99時(shí)，另一數(shù)有97種取法;

　　……

　　較大的數(shù)取51時(shí)，另一數(shù)有一種取法;而50以下的任何兩數(shù)都不能組成符合條件的數(shù)對(duì)，故共有1+3+5…+97+99=2500種取法.

　　按照某個(gè)確定的自然數(shù)為模的剩余類分類是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題之一.

　　例4 求證：從任意n個(gè)整數(shù)a1，a2，…，an中，一定可以找到若干個(gè)數(shù)，使它們的和可被n整除.

　　證明 考察如下的n個(gè)和，a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+…+an.

　　若其中至少有一個(gè)能被n的整除，則結(jié)論成立;

　　若其中沒(méi)有一個(gè)能被n整除;則將他們按模n的剩余類至多可分為余數(shù)為1，余數(shù)為2，…，余數(shù)為n-1的n-1個(gè)類.因此,這幾個(gè)整數(shù)中至少有兩個(gè)整數(shù)a1+a2+…+ak和a1+a2+a3+ak+…+al(l>k)對(duì)模n有相同的余數(shù).

　　這時(shí)和數(shù)ak+1+…+al=(a1+a2+…+ak+…+a1)-(a1+a2+…+ak)顯然可被n整除，即結(jié)論成立.

　　說(shuō)明：本例通過(guò)分類制造“抽屜”，體現(xiàn)了分類思想有“抽屜原則”的完美結(jié)合.

　　在給定的幾何條件下，由于圖形的形狀或位置不同含有不同的結(jié)果或需用不同的方法處理，這就引出了幾何中的分類討論問(wèn)題.

　　例5 (1989年武漢、廣州等五市初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)△ABC中，∠C= ，BM是中線，AC=2a，若沿BM將三角形對(duì)折起來(lái)，那個(gè)兩個(gè)小三角形ABM和BCM重疊部分的面積恰好等于△ABC面積的四分之一.試求△ABC的面積.

　　解①若原三角形中，∠ABM>∠CBM，則對(duì)折后如圖28-1，其中 是對(duì)折后C點(diǎn)所落位置，△BMD是重疊部分.依題意得

　　∴ 即D為AM的中點(diǎn).

　　又 ∴D是BC的中點(diǎn).

　　由∠ADB=∠MD 知，△ABD≌△M D，∴AB= M=CM= .而∠ACB= ，∴∠ABC= .

　　由AC=2a，可得AB=a，BC= ∴ (2)若原三角形中∠ABM<∠CBM，對(duì)折后如圖28-2.如上證明，可得D為AB，M 的中點(diǎn).

　　∴ 于是BC=B =a.

　　過(guò)B作△ABC的高BE.∵∠ACB= ，

　　∴ ∴

　　(3)顯然，∠ABM=∠CBM不合題意.

　　列6 設(shè)一條曲線的兩端在單位正方形的周界上;并且這條曲線將正方形分成面積相等的兩部分.證明這條曲線的長(zhǎng)度不小于1.

　　證明 (如圖28-3)設(shè)曲線PQ分正方形ABCD為面積相等的兩部分S1，S2.又M、N、E、F分別為正方形的邊的中點(diǎn).因 的面積，故曲線PQ與線段MN、EF、AC、BD必各至少有一個(gè)公共點(diǎn).現(xiàn)按P、Q的位置來(lái)分類討論.

　　不失一般性，不妨設(shè)P在AB上，這時(shí)，

　�、� Q在對(duì)邊CD上(圖28-4).如上所述,曲線PQ與MN至少有一公共點(diǎn)(設(shè)為R),則PQ=PR+RQ≥PR+RQ≥MR+RN=MN=1，此時(shí)結(jié)論正確.

　�、� Q在AB上(圖28-5).設(shè)曲線PQ與線段EF的一個(gè)公共點(diǎn)為R.以EF為對(duì)稱軸作出PR的對(duì)稱圖形 ，則曲線PQ與曲線 等長(zhǎng).由①知 ≥1，故PQ≥1，此時(shí)結(jié)論也正確.

　　③ Q在鄰邊BC或AD之一上(圖28-6).令曲線PQ與AC的一個(gè)公共點(diǎn)為R，以AC為對(duì)稱軸作出RQ的對(duì)稱圖形 ，則曲線PQ與 等長(zhǎng).由①知，此時(shí)結(jié)論亦成立.

　　綜上述，對(duì)符合條件的任意位置的P、Q均有所述結(jié)論.

　　2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座匯總

　　2011年中考數(shù)學(xué)備考輔導(dǎo)：選擇題精選匯總

　　名師解讀南京2011年中考數(shù)學(xué)命題趨勢(shì)