2011年中招考試：《初中數(shù)學》競賽講座(27)

-函 數(shù)

　　1.函數(shù)的基本概念

　　一個函數(shù)由它的自變量允許取值的范圍(即定義域)和對應關系所確定，并由此確定了函數(shù)值的變化范圍(即值域).定義域、對應關系、值域稱為函數(shù)的三要素.

　　(1)求函數(shù)的定義域

　　例1(1982年西安初中競賽題)已知函數(shù)

　　求自變量取值范圍.

　　解

　　-2

　　例2(1982年大連海運學院研究生招考題)設函數(shù)y=f(x)的定義域為[0，1]，試求f(x+a)+f(x-a)的定義域(a>0).

　　解 由

　　若0

　　若a>時,函數(shù)關系不存在.

　　(2)關于對應法則

　　若把自變量比作將要加工的原料，那么對應法則f就是加工手段和規(guī)則.正確認識對應法則是深刻理解函數(shù)概念的一個重要方面.

　　例3(美國34屆中學生邀請賽題)設f是一個多項式，對所有實數(shù)x，f(x2+1)=x4+5x2+3.對所有實數(shù)x，求f(x2-1).

　　分析 若能找到函數(shù)的對應法則f，即自變量是怎樣“加工處理”的，此題易解，下面給出兩種解法.

　�、倥錅惙ǎ篺(x2+1)=x4+5x2+3

　　=(x2+1)2+3(x2+1)-1，

　　∴f(x)=x2+3x-1，

　　∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1

　　=x4+x2-3.

　�、趽Q元法 令 x2+1=t，則x2=t-1.

　　由f(x2+1)=x4+5x2+3有

　　f(t)=(t-1)2+5(t-1)+1=t2+3t-1

　　∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1

　　=x4+x2-3.

　　例4 (1984年上海青少年數(shù)學愛好者協(xié)會招生試題)設函數(shù)f(x)=2x(ax2+bx+c)滿足等式f(x+1)-f(x)=2x·x2，求a+b+c的值.

　　解(待定系數(shù)法)f(x)=2x(ax2+bx+c)，

　　f(x+1)=2x+1[a(x+1)2+b(x+1)+c]

　　=2·2x[(ax2+bx+c)+2ax+a+b]

　　=2f(x)+2·2x(2ax+a+b)

　　由f(x+1)-f(x)=2x·x2有

　　2x(ax2+bx+c)+2·2x[2ax+a+b]=2x·x2，

　　在上式中，

　　令x=0得 2a+2b+c=0;①

　　令x=1得 7a+3b+c=0;②

　　令x=2得 14a+4b+c=0.③

　　由①，②，③解出 a=1，b=-4，c=6，

　　∴ a+b+c=3.

　　(3)關于函數(shù)方程

　　這個問題是前一個問題的繼續(xù)，我們把含有未知函數(shù)的等式叫函數(shù)方程，把尋求未知數(shù)的過程，或證明函數(shù)方程無解叫解函數(shù)方程.

　　例5 對于一切實數(shù)x，y，函數(shù)滿足f(x·y)=f(x)·f(y)，且f(0)≠0.求f(1987)和f(1988).

　　解 ∵f(x·y)=f(x)·f(y)，取y=0，得f(x·0)=f(x)f(0)f(0)=f(x)·f(0).又f(0)≠0，∴f(x)=1，∴f(1987)=f(1988)=1.

　　例6 (第32屆美國中學生數(shù)學競賽題)函數(shù)f(x)在x=0處沒有定義，但對所有非零實數(shù)x有f(x)+2f=3x.滿足方程f(x)=f(-x)的實數(shù)( ).

　　(A)恰有一個 (B)恰有兩個 (C)不存在 (D)有無窮多個，但并非一切非零實數(shù) (E)是一非零實數(shù)

　　解 f(x)+2f=3x.①

　　以換x得 f+2f(x)= ②

　　由①，②兩式消去f得3f(x)=-3x，

　　∴f(x)= -x.③

　　又由f(x)=f(-x)，將③代入得

　　-x=+x，

　　即 -2x=0，2-x2=0，

　　∴x=±.故應選(B).

　　(4)求函數(shù)值��

　　例7(1986年北京高一競賽題)

　　f(x)=(2x5+2x4-53x3-57x+54)1986，

　　求f[-1].

　　解 設,則2t+1=,

　　即2t2+2t=55.

　　∴2t5+2t4-53t3-57t+54

　　=t3(2t2+2t)-53t3-57t+54

　　=2t3+2t2-2t2-57t+54

　　=55t-2t2-57t+54

　　=-2t2-2t+54=-1.

　　∴f()=(-1)1986=1.

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