2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(26)

　　3. 雜題

　　競賽中出現(xiàn)的一些綜合性較強(qiáng)的面積問題，一般采用簡化圖形或根據(jù)題意構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形來處理.

　　例9(1987年全俄中學(xué)生競賽題)凸四邊形ABCD的面積為S.K、L、M、N分別是AC、AD、BC和BD的中點(diǎn).證明：SKLNM<0.5S.

　　證明 設(shè)P、Q分別是AB、CD的中點(diǎn)(如圖40-9).注意到PLQM、MKNL都是平行四邊形，且SKLNM=S，因此，只須證明KLNM含于PLQM內(nèi).

　　設(shè)PL、MQ分別交AC于E、F，則點(diǎn)K位于E、F之間.若不然，例如點(diǎn)K在線段AE上，則有AK≤AE，因EF=PM=AK=0.5AC，故有關(guān)系式AC=2AK=AK+EF≤AE+EF

　　例10(第20屆全蘇中學(xué)生競賽題)M點(diǎn)在銳角△ABC的AC邊上，作△ABM和△CBM的外接圓.問當(dāng)M點(diǎn)在什么地方時，兩外接圓公共部分的面積最小?

　　解 設(shè)O、O1分別是△ABM和△CBM外接圓的圓心.兩外接圓的公共部分面積是兩個以BM為公共弦的弓形面積之和，可以考慮保時弓形的面積最小.

　　注意到

　　∠BOM=2∠BAM=常數(shù).

　　∠BO1M=2∠BCM=常數(shù).

　　因此，研究當(dāng)弓形所對的圓心角固定時，弓形面積與弓形弦的關(guān)系.設(shè)圓心角為α，弓形弦長為b，那么弓形的面積為

　　由此可見，上圖中若BM越小，則每個弓形的面積越小、所以當(dāng)BM是△ABC的高，即BM⊥AC，M為垂足時，兩外接圓公共部分的面積最小.

　　例11 設(shè)A、B為半徑等于1的⊙O上任意兩點(diǎn)，若過A、B的任意線段或曲線段L將⊙O面積平分，則L的長l必不小于2.

　　證明 若AB為⊙O的直徑，且L為直線時，顯然L將⊙O面積平分，這時l=2.

　　若AB是⊙O的直徑，L不是直線時，則l>AB，即l>2.

　　若AB不是⊙O的直徑，如圖40-11，作平行于AB的直徑MN，作A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A′，A′必在⊙O上，連A′B，易知A′B為⊙O的直徑.由曲線L平分⊙O知，L上必有點(diǎn)與A、B在MN的異側(cè).取這樣的一點(diǎn)C，并連結(jié)AC、BC，AC交MN于D，連BD、A′D，則

　　據(jù)此易證l≥AC′+BC′>2.

　　綜上得l≥2，即L的長必不小于2.

　　最后我們介紹解決三角形面積問題的一個重要技巧——三角形的剖分.將任意△ABC的三邊BC、CA、AB分別分成n等分，然后過這些分點(diǎn)作平行于其他兩邊的直線，這樣將△ABC分成若干個全等的小三角形(如圖40-12)的手續(xù)，叫做對△ABC進(jìn)行剖分.究竟分成多少等分，則視需要而定.

　　例12(1984年全國數(shù)學(xué)競賽題)P為△ABC的邊BC上任一點(diǎn)，作PE∥AB，PF∥AC.設(shè)△ABC的面積等于1.求證：△BPF、△PCE、四邊形AFPE的面積中，至少有一個不小于

　　證明 如圖40-13，作△ABC的剖分.這時每一個小三角形的面積均等于.

　　顯然，如果點(diǎn)P在線段BA1上變動時，△PCE完整地蓋住了四個小三角形，因此△PCE的面積≥.對稱地，如果點(diǎn)P落在線段A2C上，則△BPF的面積≥.

　　余下的只須討論點(diǎn)P在線段A1A2內(nèi)變動的情形，利用平行線的基本性質(zhì)可證.

　　△FC2I≌△MA1P≌△NJG.

　　這說明上圖中帶陰影的兩個三角形有相等的面積.又因?yàn)?/P>

　　△ EJ2B≌△NPA2≌△MGI，

　　這說明圖中涂黑了的兩個三角形面積相等.

　　將四邊形AFPE中△NJG剪下來再拼到△FC2I上;把△MGI剪下來再拼到△EB2J2上，我們看出：

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