2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(24)

-判別式與韋達(dá)定理

　　根的判別式和韋達(dá)定理是實系數(shù)一元二次方程的重要基礎(chǔ)知識，利用它們可進(jìn)一步研究根的性質(zhì)，也可以將一些表面上看不是一元二次方程的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程來討論.

　　1. 判別式的應(yīng)用

　　例1 (1987年武漢等四市聯(lián)賽題)已知實數(shù)a、b、c、R、P滿足條件PR>1，Pc+2b+Ra=0.求證：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有實根.

　　證明 △=(2b)2-4ac.①若一元二次方程有實根，

　　必須證△≥0.由已知條件有2b=-(Pc+Ra)，代入①，得

　　△ =(Pc+Ra)2-4ac

　　=(Pc)2+2PcRa+(Ra)2-4ac

　　=(Pc-Ra)2+4ac(PR-1).

　　∵(Pc-Ra)2≥0，又PR>1，a≠0，

　　(1)當(dāng)ac≥0時，有△≥0;

　　(2)當(dāng)ac<0時，有△=(2b)2-4ac>0.

　　(1)、(2)證明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有實數(shù)根.

　　例2 (1985年寧波初中數(shù)學(xué)競賽題)如圖21-1，k是實數(shù)，O是數(shù)軸的原點，A是數(shù)軸上的點，它的坐標(biāo)是正數(shù)a.P是數(shù)軸上另一點,坐標(biāo)是x,x

　　(1) k為何值時，x有兩個解x1，x2(設(shè)x1

　　此處無圖

　　(2) 若k>1，把x1，x2，0，a按從小到大的順序排列，并用不等號“<”連接.

　　解 (1)由已知可得x2=k·(a-x)·a，即

　　x2+kax-ka2=0，當(dāng)判別式△>0時有兩解，這時

　　△ =k2a2+4ka2=a2k(k+4)>0.

　　∵a>0， ∴k(k+4)>0，故k<-4或k>0.

　　(2)x1<0

　　例3(1982年湖北初中數(shù)學(xué)競賽題)證明不可能分解為兩個一次因式之積.

　　分析 若視原式為關(guān)于x的二次三項式，則可利用判別式求解.

　　證明

　　將此式看作關(guān)于x的二次三項式，則判別式

　　△ =

　　顯然△不是一個完全平方式，故原式不能分解為兩個一次因式之積.

　　例3 (1957年北京中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題)已知x，y，z是實數(shù)，且x+y+z=a，① ②

　　求證：0≤x≤ 0≤y≤ 0≤z≤

　　分析 將①代入②可消去一個字母，如消去z，然后整理成關(guān)于y的二次方程討論.

　　證明 由①得z=a-x-y，代入②整理得

　　此式可看作關(guān)于y的實系數(shù)一元二次方程，據(jù)已知此方程有實根，故有

　　△ =16(x-a)2-16(4x2-4ax+a2)≥0

　　≥0≤x≤

　　同理可證：0≤y≤，0≤z≤.

　　例5設(shè)a1，a2，a3，b是滿足不等式(a1+a2+a3)2≥2()+4b的實數(shù).

　　求證：a1a2+a2a3+a3a1≥3b.

　　證明 由已知可得

　　≤0.

　　設(shè)

　　則

　　∵a3是實數(shù)， 故△≥0，即有

　　(a1+a2)2≥()-2a1a2+4b+r

　　≥2()-(a1+a2)2+4b.

　　于是(a1+a2)2≥()+2b，∴a1a2≥b.

　　同理有a2a3≥b，a3a1≥b.三式相加即得

　　a1a2+a2a3+a3a1≥3b.

　　例6 設(shè)a、b、c為實數(shù)，方程組

　　與

　　均無實數(shù)根.求證:對于一切實數(shù)x都有

　　>

　　證明 由已知條件可以推出a≠0，因為若a=0，則方程組至少有一個有實數(shù)解.

　　進(jìn)一步可知，方程ax2+bx+c=±x無實根，因此判別式△=<0，

　　于是 (b-1)2+(b+1)-8ac<0.

　　即 4ac-b2>1.

　　∴

　　>

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