2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(23)

　　(二)重要結(jié)論

　　1.個位數(shù)是2,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

　　2.個位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

　　3.個位數(shù)是6，十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

　　4.形如3n+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

　　5.形如4n+2和4n+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

　　6.形如5n±2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

　　7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

　　8.數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。

　　(三)范例

　　[例1]：一個自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。

　　解：設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得

　　(m,n為自然數(shù))

　　(2)-(1)可得

　　∴n>m

　　(

　　但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。

　　[例2]：求證：四個連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個奇數(shù)的平方(1954年基輔數(shù)學(xué)競賽題)。

　　分析　設(shè)四個連續(xù)的整數(shù)為，其中n為整數(shù)。欲證

　　是一奇數(shù)的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數(shù)的平方即可。

　　證明　設(shè)這四個整數(shù)之積加上1為m，則

　　而n(n+1)是兩個連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù);又因為2n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。這就證明了m是一個奇數(shù)的平方。

　　[例3]：求證：11,111,1111,這串?dāng)?shù)中沒有完全平方數(shù)(1972年基輔數(shù)學(xué)競賽題)。

　　分析　形如的數(shù)若是完全平方數(shù)，必是末位為1或9的數(shù)的平方，即

　　或

　　在兩端同時減去1之后即可推出矛盾。

　　證明　若，則

　　因為左端為奇數(shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。

　　若，則

　　因為左端為奇數(shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。

　　綜上所述，不可能是完全平方數(shù)。

　　另證　由為奇數(shù)知，若它為完全平方數(shù)，則只能是奇數(shù)的平方。但已證過，奇數(shù)的平方其十位數(shù)字必是偶數(shù)，而十位上的數(shù)字為1，所以不是完全平方數(shù)。

　　[例4]：試證數(shù)列49,4489,444889,的每一項都是完全平方數(shù)。

　　證明

　　=

　　=++1

　　=4+8+1

　　=4()(9+1)+8+1

　　=36()+12+1

　　=(6+1)

　　即為完全平方數(shù)。

　　[例5]：用300個2和若干個0組成的整數(shù)有沒有可能是完全平方數(shù)?

　　解：設(shè)由300個2和若干個0組成的數(shù)為A，則其數(shù)字和為600

　　3︱600　∴3︱A

　　此數(shù)有3的因子，故9︱A。但9︱600，∴矛盾。故不可能有完全平方數(shù)。

　　[例6]：試求一個四位數(shù)，它是一個完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同(1999小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請賽試題)。

　　解：設(shè)此數(shù)為

　　此數(shù)為完全平方，則必須是11的倍數(shù)。因此11︱a + b，而a,b為0,1,2,9，故共有(2,9),(3,8), (4,7),(9,2)等8組可能。

　　直接驗算，可知此數(shù)為7744=88。

　　[例7]：求滿足下列條件的所有自然數(shù)：

　　(1)它是四位數(shù)。

　　(2)被22除余數(shù)為5。

　　(3)它是完全平方數(shù)。

　　解：設(shè)，其中n,N為自然數(shù)，可知N為奇數(shù)。

　　11︱N - 4或11︱N + 4

　　或

　　k = 1

　　k = 2

　　k = 3

　　k = 4

　　k = 5

　　所以此自然數(shù)為1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

　　[例8]：甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應(yīng)該補給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)邀請賽試題)?

　　解：n頭羊的總價為元，由題意知元中含有奇數(shù)個10元，即完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)。如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6。所以，的末位數(shù)字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應(yīng)補給乙2元。

　　[例9]：矩形四邊的長度都是小于10的整數(shù)(單位：公分)，這四個長度數(shù)可構(gòu)成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)的千位數(shù)字與百位數(shù)字相同，并且這四位數(shù)是一個完全平方數(shù)，求這個矩形的面積(1986年縉云杯初二數(shù)學(xué)競賽題)。

　　解：設(shè)矩形的邊長為x,y，則四位數(shù)

　　∵N是完全平方數(shù)，11為質(zhì)數(shù)　∴x+y能被11整除。

　　又　,得x+y=11。

　　∴∴9x+1是一個完全平方數(shù)，而，驗算知x=7滿足條件。又由x+y=11得。

　　[例10]：求一個四位數(shù)，使它等于它的四個數(shù)字和的四次方，并證明此數(shù)是唯一的。

　　解：設(shè)符合題意的四位數(shù)為，則，∴為五位數(shù)，為三位數(shù)，∴。經(jīng)計算得，其中符合題意的只有2401一個。

　　[例11]：求自然數(shù)n，使的值是由數(shù)字0,2,3,4,4,7,8,8,9組成。

　　解：顯然，。為了便于估計，我們把的變化范圍放大到，于是，即�！�，∴。

　　另一方面，因已知九個數(shù)碼之和是3的倍數(shù)，故及n都是3的倍數(shù)。這樣，n只有24,27,30三種可能。但30結(jié)尾有六個0，故30不合要求。經(jīng)計算得

　　故所求的自然數(shù)n = 27。

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