2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(20)

競(jìng)賽講座20

　　-容斥原理

　　在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算。我們用|A|表示有限集合A的元素個(gè)數(shù)(新教材中用 表示有限集合A的元素個(gè)數(shù))。

　　原理一：給定兩個(gè)集合A和B，要計(jì)算A∪B中元素的個(gè)數(shù)，可以分成兩步進(jìn)行：

　　第一步：先求出∣A∣+∣B∣(或者說(shuō)把A，B的一切元素都“包含”進(jìn)來(lái)，加在一起);

　　第二步：減去∣A∩B∣(即“排除”加了兩次的元素)

　　總結(jié)為公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣。

　　原理二：給定三個(gè)集合A，B，C。要計(jì)算A∪B∪C中元素的個(gè)數(shù)，可以分三步進(jìn)行：

　　第一步 求|A|+|B|+|C|;

　　第二步 減去|A∩B|，|A∩C|，|B∩C|;

　　第三步 加上|A∩B∩C|。

　　例1 求不超過(guò)20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)。

　　例2 某班統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)，數(shù)學(xué)得90分上的有25人;語(yǔ)文得90分以上的有21人;兩科中至少有一科在90以上的有38人。問(wèn)兩科都在90分以上的有多少人?

　　例3 某校組織棋類比賽，分成圍棋、中國(guó)象棋和國(guó)際象棋三個(gè)組進(jìn)行。參加圍棋比賽的共有42人，參加中國(guó)象棋比賽的共有51人，參加國(guó)際象棋比賽的共有30人。同時(shí)參加了圍棋和中國(guó)象棋比賽的共有13人，同時(shí)參加了圍棋和國(guó)際象棋比賽的7人，同時(shí)參加了中國(guó)象棋和國(guó)際象棋比賽的11人，其中三種棋賽都參加的3人。問(wèn)參加棋類比賽的共有多少人?

　　例4 邊長(zhǎng)分別為6，5，2的三個(gè)正方形，如圖8—5所示放在桌面上。問(wèn)它們蓋住的面積是多大?

　　例5 求1到200的自然數(shù)中不能被2、3、5中任何一個(gè)數(shù)整除的數(shù)有多少?

　　練習(xí)題

　　1. 某班共有48名學(xué)生，都參加了語(yǔ)文興趣小組或數(shù)學(xué)興趣小組，其中參加語(yǔ)文興趣小組的有30人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有28人，問(wèn)同時(shí)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)興趣小組的人數(shù)是多少.

　　2.紙片面積為7，一張邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，把這兩張紙片放在桌面上覆蓋的面積為8，問(wèn)兩張紙片重合部分的面積是多少?

　　3. 不超過(guò)110且與110互質(zhì)的自然數(shù)有幾個(gè)?

　　4. 求在1至1000的自然數(shù)中，不能被5或7整除的數(shù)有多少個(gè)。

　　5. 某個(gè)班的全體學(xué)生進(jìn)行短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到了優(yōu)秀。這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目、人數(shù)如下表：

　　求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)。

　　6.求在不超過(guò)100的自然數(shù)中，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)有多少個(gè)?

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