2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(13)

競(jìng)賽講座13

　　-平面三角

　　三角函數(shù)與反三角函數(shù)，是五種基本初等函數(shù)中的兩種，在現(xiàn)代科學(xué)的很多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.同時(shí)它也是高考、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的必考內(nèi)容之一.

　　一、三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

　　三角函數(shù)的性質(zhì)大體包括：定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等.這里以單調(diào)性為最難.它們?cè)谄矫鎺缀巍⒘Ⅲw幾何、解析幾何、復(fù)數(shù)等分支中均有廣泛的應(yīng)用.

　　【例1】　求函數(shù)y=2sin( -2x)的單調(diào)增區(qū)間。

　　解：y=2sin( -2x)= 2sin(2x+ )。

　　由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

　　得kπ- ≤x≤kπ- ，k∈Z。

　　即原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ- ，kπ- ](k∈Z)。

　　【例2】　 若φ∈(0， )，比較sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ這三者之間的大小。

　　解：∵在(0， )中，sinx

　　∵在(0， )中，y=cosx單調(diào)遞減，∴cosφ< cos(sinφ)。

　　∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。

　　【例3】　 已知x,y∈[- ， ]，a∈R，且 。求cos(x+2y)的值。

　　解：原方程組化為 。

　　∵x,-2y∈[- ， ]，函數(shù)f(t)=t3+sint在[- ， ]上單調(diào)遞增，且f(x)=f(-2y)

　　∴x=2y，∴cos(x+2y)=1。

　　【例4】　求證：在區(qū)間(0， )內(nèi)存在唯一的兩個(gè)數(shù)c、d(c

　　證明：考慮函數(shù)f(x)=cos(sinx)-x，在區(qū)間[0， ]內(nèi)是單調(diào)遞減的，并且連續(xù)，由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0，f( )=cos(sin )- = cos 1- <0，

　　∴存在唯一的d∈(0， )，使f(d)=0，即cos(sind)= d.

　　對(duì)上式兩邊取正弦，并令c=sind，有sin(cos(sind))=sin d，sin(cosc)=c。

　　顯然c∈(0， )。且由y=sinx在(0， )上的單調(diào)性和d的唯一性，知c也唯一。

　　故存在唯一的c

　　【例5】 α、β、γ∈(0， )，且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ。比較α、β、γ的大小。

　　解：∵α、β、γ∈(0， )，∴ctgβ>0，0< sinγ<γ< 。

　　∴β=sin(ctgβ)< ctgβ，γ=ctg(sinγ)> ctgγ。

　　作出函數(shù)y=ctgx在(0， )上的圖象，可看出：β<α<γ。

　　【例6】　 n∈N，n≥2，求證：cos ·cos · ··· ·cos > 。

　　證明：∵0< < <···< < <1，

　　∴01- = ，k=2，3，…，n。

　　∴(cos ·cos · ··· ·cos )2>( · )·( · )·( · )···( · )

　　= · > >( )2，

　　∴cos ·cos · ··· ·cos > 。

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