線性代數(shù)（一）99年上半年試題

　　一、填空題（每空2分，共16分）

　　1．若n階方陣A與B相似，且|A|=2，則|BA|= ________。

　　2．或A是n階方陣，且|A|=3，A*是A的伴隨矩陣，則|3A*|=__________ 。

　　3．設(shè)A是n階退化矩陣，A*是A的伴隨矩陣，且秩（A*）≠0，則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中含_______個(gè)解向量。

　　4．設(shè)A是n階方陣，且A3=0，則A的特征值是__________ 。

　　5．設(shè)A= 是正定矩陣，則a=___________ 。

　　6．設(shè)A是m×n矩陣，A’是A的轉(zhuǎn)置矩陣，且秩（A’）=n-1，則秩（A）=_________ 。

　　7．設(shè)A=（1，-1，2），B= ，則BA=__________ 。

　　8．=___________。

　　二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共12分）

　　1．對任意n階方陣A，B，總有 （ ）

　　A. |A+B|=|A|+|B|
　　B. (AB)’=A’B’
　　C. (A+B)2=A2+2AB+B2
　　D. |AB|=|BA|

　　2．在下列矩陣中，不是初等矩陣的是 （ ）

　　A. B. C. D.

　　3．設(shè)α1，α2，α3，是3階方陣A的列向量組，且齊次線性方程Ax=0只有零解，則（ ）。

　　A. α1可由α2，α3線性表出
　　B. α2可由α1，α3線性表出
　　C. α3可由α1，α2線性表出
　　D. A、B、C都不成立

　　4.= （ ）。

　　A. 24 B. –24 C. 42 D. 0

　　5．若n階方陣A與B合同，且|B|=4，則方程組Ax=b。 （ ）

　　A. 無解 B. 有唯一解 C. 有無窮多解 D. 有4個(gè)解

　　6．若λ0是n階方陣A的特征值，則2A的特征值是 （ ）

　　A. λ0 B. 2λ0 C. (1/2)λ0 D. -2λ0

　　三、判斷題（每小題2分，共12分）

　　1．設(shè)A，B，C，D都是n階方陣，且ABCD=E, 則一定有CDAB=E。 （ ）

　　2．對任意n階方陣A，B，C，若AB=AC，則一定有B=C。 （ ）

　　3．若α1,α2,α3,α4都是3維向量，則α1,α2,α3,α4必線性相關(guān)。 （ ）

　　4．若A是4×6矩陣，則齊次線性方程組Ax=0必有非零解。 （ ）

　　5．若3階方陣A的3個(gè)順序主子式都大于零，則A必是正定矩陣。 （ ）

　　6．對任意n階方陣A與B，若A與B有相同的特征值，則A與B一定相似。（ ）

　　
　　四、計(jì)算題（一）（每小題6分，共30分）

　　1.計(jì)算行列式：

　　2．設(shè)A= ，求A的逆矩陣A-1。

　　3．求基礎(chǔ)解系：

　　4．設(shè)α1=（1,2,3）, α2=(0,-2,1), α3=(1,4,a), 問當(dāng)a為何值時(shí)，α1,α2,α3線性相關(guān)。

　　5．設(shè)A=  ，B= ， 計(jì)算　2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A B。
　

　　五、計(jì)算題（二）（每小題11分，共22分）

　　1．A= ，求可逆矩陣U，使　-1 　　　　　　　　　　　-1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　U　 AU為對角矩陣，并寫出U　 AU。

　　2.用非退化線性替換化實(shí)二次型f (x1, x2, x3)=x1x2-3x1x3+5x2x3為規(guī)范型，并寫出所用的非退化線性替換及規(guī)范型。

　　六、證明題（8分）

　　設(shè)n階方陣A與B相似，證明：A和B有相同的特征多項(xiàng)式。