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2015年考研數(shù)學(xué)概率之隨機(jī)變量及其分布

　　上節(jié)我們已經(jīng)詳細(xì)闡釋了隨機(jī)事件及其概率這個(gè)章節(jié)，今天跨考教育數(shù)學(xué)教研室尹霞老師跟大家一起來(lái)具體分析一下，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的第二章隨機(jī)事件及其分布該怎么學(xué)習(xí)。維隨機(jī)變量及其分布，隨機(jī)變量是概率論的研究對(duì)象，是隨機(jī)事件的量化產(chǎn)物。這章是二維隨機(jī)變量的基礎(chǔ)，每年必考，有單獨(dú)直接考查，也經(jīng)常與二維隨機(jī)變量相結(jié)合去考查。如09年數(shù)一和數(shù)三第8題考查分布函數(shù)的特殊性質(zhì)，第22題考到了一維離散型隨機(jī)變量的常見分布。10年數(shù)一、數(shù)三第7題考查一維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)(一點(diǎn)處概率)，第8題考查一維連續(xù)型隨機(jī)變量的常見分布及概率密度的充要條件。數(shù)一第14題考查利用離散型隨機(jī)變量的分布律的性質(zhì)求未知參數(shù)，第23題考了常見分布如二項(xiàng)分布。11年數(shù)一和數(shù)三第7題考查概率密度的充要條件。12年數(shù)一第23題求概率密度，數(shù)三第7題考了一維隨機(jī)變量均勻分布的概率密度。13年數(shù)一和數(shù)三第7題考查一維常見分布中的正態(tài)分布，(考查正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化和對(duì)稱性)。數(shù)一第14題考了指數(shù)分布，22題考查隨機(jī)變量的分布函數(shù)(得分率較低)。14年數(shù)三第22題求隨機(jī)變量的分布函數(shù)。

　　一、考試內(nèi)容

　　1.隨機(jī)變量

　　2.隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)

　　3.離散型隨機(jī)變量的概率分布

　　4.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度

　　5.常見隨機(jī)變量的分布

　　6.隨機(jī)變量函數(shù)的分布

　　二、考試要求

　　1.理解隨機(jī)變量的概念，理解分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)，會(huì)計(jì)算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率.

　　2.理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二項(xiàng)分布、幾何分布、超幾何分布、泊松分布及其應(yīng)用.

　　3. 了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會(huì)用泊松分布近似表示二項(xiàng)分布.

　　4.理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布及其

　　三、復(fù)習(xí)要點(diǎn)

　　1. 分布函數(shù)

　　首先要理解分布函數(shù)的概念，分布函數(shù)表示隨機(jī)變量位于一點(diǎn)左側(cè)區(qū)間的概率。分布函數(shù)的定義，在考試中用得比較多，如直接利用分布函數(shù)的定義去計(jì)算分布函數(shù)，連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)求概率密度或者分布函數(shù)等。其次，要理解分布函數(shù)的性質(zhì)，包括：一、分布函數(shù)的充分必要條件，充要條件中涉及到的三條是判斷一個(gè)函數(shù)能否作為某隨機(jī)變量分布函數(shù)的依據(jù)。這個(gè)考點(diǎn)，在考研試題的選擇題中也常有考查，所以需要考生引起足夠的重視。二、通過(guò)分布函數(shù)去計(jì)算概率的一系列公式。關(guān)于這些公式，大部分都可以通過(guò)分布函數(shù)的定義去推導(dǎo)，希望考生在前期學(xué)習(xí)的時(shí)候，可以自己動(dòng)筆去推導(dǎo)一遍。其實(shí)，這個(gè)推導(dǎo)的過(guò)程，也是進(jìn)一步理解隨機(jī)變量分布函數(shù)定義的過(guò)程。在理解了分布函數(shù)概率和常用性質(zhì)的基礎(chǔ)上，建議考生再做一些與該知識(shí)點(diǎn)有關(guān)的配套練習(xí)，再次強(qiáng)化一下這一部分的考點(diǎn)。

　　2. 分布律

　　離散型隨機(jī)變量的核心就是考察隨機(jī)變量的分布律，這點(diǎn)凡是涉及到離散型隨機(jī)變量，不論維數(shù)是幾維，考查的核心點(diǎn)都是一樣的。分布律的寫法關(guān)鍵是掌握兩個(gè)要點(diǎn)。一、隨機(jī)變量的所有可能取值有哪些，關(guān)于這點(diǎn)更多的會(huì)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，考生需要去理解題目中的文字信息，判斷隨機(jī)變量的可能取值。一般來(lái)說(shuō)，列出隨機(jī)變量所有取值的難度較低，大部分考生可以寫出，切勿粗心大意落掉某些取值。二、隨機(jī)變量取對(duì)應(yīng)值的概率，應(yīng)該說(shuō)第二點(diǎn)是寫出分布律的重難點(diǎn)。如果題目的背景是與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的，那計(jì)算概率的時(shí)候一般會(huì)用到第一章學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單的古典概型的知識(shí)，當(dāng)然也有部分題目，寫分布律與實(shí)際問(wèn)題并未結(jié)合，那這種題型相對(duì)而言就會(huì)變得比較簡(jiǎn)單。另外，關(guān)于分布律這一部分的考點(diǎn)，也有個(gè)別題目在考查分布律的充分必要條件，那此類題目的難度就更小了。

　　3. 連續(xù)型隨機(jī)變量

　　首先需要考生搞清楚的是概率密度這個(gè)概念，很多考生在頭腦中百思不得其解的是概率密度究竟表示什么意思?其實(shí)，簡(jiǎn)單的說(shuō)概率密度表示是隨機(jī)變量落在單位區(qū)間段內(nèi)的概率。對(duì)于概率密度的這個(gè)概念作為了解即可，即使不理解對(duì)考生做題也沒(méi)有太大的影響。其次，是概率密度的充要條件，這個(gè)是考試常考的一個(gè)考點(diǎn)。跟分布函數(shù)的充要條件考法類似，在這塊也常會(huì)考查，下列哪些函數(shù)可以作為隨機(jī)變量的概率密度這樣的選擇題。另外，是一些小的知識(shí)點(diǎn)，如連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)的，連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)和概率密度之間的關(guān)系，連續(xù)型隨機(jī)變量通過(guò)概率密度可以計(jì)算隨機(jī)變量落在某區(qū)間內(nèi)的概率等。

　　四、備考建議

　　同學(xué)們一方面多做些題目，尤其是文字?jǐn)⑹龅念}目，逐漸提高自己分析問(wèn)題的能力。另一方面花點(diǎn)時(shí)間準(zhǔn)確理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的基本概念。在復(fù)習(xí)過(guò)程中，可以結(jié)合一些實(shí)際問(wèn)題理解概念和公式，也可以通過(guò)做一些文字?jǐn)⑹鲱}鞏固概念和公式。只要針對(duì)每一個(gè)基本概念準(zhǔn)確的理解，公式理解的準(zhǔn)確到位，并且多做些相關(guān)題目，再遇到考卷中碰到類似題目時(shí)就一定能夠輕易讀懂和正確解答。

　　概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的公式不僅要記住，而且要會(huì)用，要會(huì)用這些公式分析實(shí)際中的問(wèn)題。在這里，推薦一個(gè)記憶公式的方法，就是結(jié)合實(shí)際的例子和模型記憶。比如二向概率公式，你可以用這樣一個(gè)模型記憶，把一枚硬幣重復(fù)拋N次，正面朝上的概率是多少呢?這樣才是在理解基礎(chǔ)上的記憶，記憶的東西既不容易忘，又能夠正確運(yùn)用到題目的解決中。

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